结论：员工是否会因老板无证经营电子烟而被判刑，取决于员工在无证经营中的具体角色、行为以及情节的严重程度。若员工仅作为普通劳动者，未参与经营决策或核心业务，且不知情，则通常不会被追究刑事责任；但若员工积极参与无证经营，且情节严重，则可能构成非法经营罪的共犯，面临刑事处罚。

分析说明：

1. 无证经营电子烟的法律性质：

   • 电子烟若属于烟草专卖品范畴，则无证经营电子烟将违反《中华人民共和国烟草专卖法》及其实施条例，可能面临行政处罚或刑事处罚。
   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百二十五条，未经许可经营法律、行政法规规定的专营、专卖物品，扰乱市场秩序，情节严重的，构成非法经营罪。

2. 员工可能面临的法律责任：

   • 不构成犯罪的情况：若员工仅作为普通劳动者，在老板无证经营电子烟的过程中，未参与经营决策、未负责核心业务（如采购、销售、管理等），且对无证经营行为不知情或未从中获利，则通常不会被追究刑事责任。此时，员工可能仅面临与老板之间的劳动纠纷或民事赔偿问题。
   • 构成犯罪的情况：若员工积极参与无证经营电子烟的活动，如负责采购、销售、管理或提供其他关键支持，且明知老板无证经营而仍然参与，则可能构成非法经营罪的共犯。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，共犯将面临与主犯相同的刑事处罚，包括有期徒刑、拘役和罚金等。

3. 情节严重的认定标准：

   • 根据《最高人民法院、最高人民检察院关于办理非法生产、销售烟草专卖品等刑事案件具体应用法律若干问题的解释》，非法经营烟草专卖品，若满足以下条件之一，即应认定为“情节严重”：非法经营数额达到五万元以上，或违法所得数额达到二万元以上；非法经营卷烟数量达到二十万支以上；曾因非法经营烟草专卖品在三年内受过二次以上行政处罚，又非法经营数额达到三万元以上。

法律建议：

• 对于员工：若发现自己所在的单位或老板存在无证经营电子烟的行为，应尽快了解自己的法律地位和责任。若自己并未参与经营决策或核心业务，且对无证经营行为不知情，则无需过度担心刑事责任问题；但若自己积极参与了无证经营活动，则应立即停止相关行为，并考虑向相关部门举报或寻求法律帮助。
• 对于老板：应严格遵守相关法律法规，不从事无证经营电子烟的活动。若已涉嫌无证经营，应尽快补办相关手续或停止经营，并积极配合相关部门的调查和处理工作，以减轻或避免法律责任。

后续行动建议：

• 若您或您身边的人涉及此类问题，且对具体情况存在疑问或担忧，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供准确的法律意见和帮助。