结论：在父亲去世且婚外生子随父落户但没有亲子鉴定证明的情况下，确实可以通过法院的亲子关系推定判决来代替直接的亲子鉴定证明，以确认非婚生子女的继承权等法律权益。
法律背景与解释
亲子关系推定的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十三条的规定，对亲子关系有异议且有正当理由的，父或者母可以向人民法院提起诉讼，请求确认或者否认亲子关系。对亲子关系有异议且有正当理由的，成年子女可以向人民法院提起诉讼，请求确认亲子关系。这一条款为法院在缺乏直接亲子鉴定证明的情况下，通过其他证据推定亲子关系提供了法律依据。
亲子关系推定的实践应用：
- 在司法实践中，当直接亲子鉴定无法进行（如一方死亡、拒绝配合等）时，法院会综合考虑多种证据来推定亲子关系。这些证据可能包括但不限于：出生医学证明、户口簿、亲属关系证明、证人证言、生活照片、视频资料、共同生活的证据（如共同居住的证明、经济往来的记录等）以及基因检测的其他间接证据（如与已知亲属的基因比对结果等）。
非婚生子女的继承权：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产按照下列顺序继承：（一）第一顺序：配偶、子女、父母；（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。因此，非婚生子女与婚生子女享有同等的继承权。一旦法院推定确认了非婚生子女与父亲的亲子关系，该子女即有权依法继承父亲的遗产。
法律建议与行动指南
收集证据：
- 鉴于直接亲子鉴定无法进行，您应积极收集其他能够证明亲子关系的证据。这些证据应尽可能全面、客观地反映非婚生子女与父亲之间的亲子关系。
提起诉讼：
- 在收集到足够证据后，您可以向法院提起诉讼，请求确认非婚生子女与父亲的亲子关系。在诉讼过程中，您应充分展示所收集的证据，并说明这些证据如何支持您的主张。
寻求专业帮助：
- 由于亲子关系推定诉讼涉及复杂的法律问题和证据规则，建议您在诉讼过程中寻求专业律师的帮助。律师可以为您提供法律咨询、指导您收集证据、代表您出庭诉讼等全方位的法律服务。
可能的法律后果
- 如果法院最终推定确认了非婚生子女与父亲的亲子关系，那么该子女将依法享有与婚生子女同等的继承权和其他法律权益。
- 如果法院未能推定确认亲子关系，或者您未能提供足够的证据支持您的主张，那么非婚生子女可能无法依法继承父亲的遗产或享受其他相关法律权益。
最后，我希望以上分析能够对您有所帮助。如果您在亲子关系推定或遗产继承方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。