结论：在基本农田建设涉及老坟迁移且主人不同意的情况下，政府一般不可以直接强制处理，但特定法定情形下可依法实施强制迁移。以下为详细分析：

1. 基本农田保护原则与限制
   根据《基本农田保护条例》第十五条，基本农田经依法划定后，任何单位和个人不得改变或占用，国家能源、交通、水利、军事设施等重点建设项目选址确实无法避开基本农田的，需经国务院批准并补划数量和质量相当的基本农田。若老坟迁移属于此类重点建设项目配套措施，政府需严格履行法定审批程序，否则无权擅自占用基本农田或强制迁移坟墓。

2. 坟墓迁移的法定条件
   依据《殡葬管理条例》第十条，禁止在耕地（含基本农田）建造坟墓。若老坟本身违反该规定，县级人民政府民政部门有权责令限期改正；拒不改正的，可申请人民法院强制执行。但需注意：

   • 程序合法性：政府需先作出书面责令改正决定，明确整改期限及法律后果；
     
   • 救济途径：坟主有权在收到决定后60日内申请行政复议或6个月内提起行政诉讼；
     
   • 强制执行主体：政府无权直接强制执行，需向人民法院申请强制执行，由法院裁定是否准许。

3. 公共利益与个人权益的平衡
   若迁移系因公共利益需要（如重大基础设施建设），政府需遵循《行政强制法》第三十五条至第三十八条规定的程序：

   • 催告：书面催告坟主履行义务，告知陈述、申辩权；
     
   • 听取意见：对坟主提出的异议进行复核；
     
   • 强制执行决定：经催告仍不履行且无正当理由的，作出强制执行决定并送达；
     
   • 执行实施：由政府组织实施或申请法院执行，但不得在夜间或法定节假日实施，且需保留坟主亲属的祭奠权益。

4. 补偿与安置义务
   根据《土地管理法》第四十八条，征收土地应给予公平、合理补偿。若迁移涉及土地征收，政府需对坟主进行补偿，补偿标准由省级政府制定并公布。补偿未到位前，坟主有权拒绝迁移。

建议：若您面临此类问题，可要求政府出示以下文件：

1. 国务院批准占用基本农田的批文；
   
2. 责令改正决定书及催告书；
   
3. 补偿安置方案及公示证明；
   
4. 人民法院强制执行裁定书（如已进入执行阶段）。
   如政府程序违法或补偿不合理，可依法申请行政复议或提起行政诉讼。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律程序及证据收集要点。