要证明“小三”公开道歉，核心在于收集能证实其存在不正当关系且该行为对您的权益造成侵害，同时其有公开道歉必要性的相关证据。以下从不同角度为您详细分析所需证据及收集建议：
一、证明不正当关系的证据
这是整个案件的基础，只有先证明对方存在不正当男女关系，后续要求公开道歉才有合理依据。
- 聊天记录：包括微信、QQ、短信等社交软件的聊天记录。这些记录中如果存在亲密称呼、暧昧话语、讨论不正当关系相关事宜等内容，都能作为证明不正当关系的证据。例如，聊天记录中一方对另一方说“宝贝，我好想你，今晚老地方见”，这种明显超出普通朋友界限的对话，就可以作为有力证据。收集时，要注意保存原始载体，如手机等，不能仅截图保存，因为截图容易被篡改，原始载体能保证证据的真实性和完整性。
- 照片和视频：拍摄到“小三”与您配偶有亲密行为的照片或视频，如拥抱、接吻、一起进入酒店房间等。这些直观的影像资料能直接证明他们之间存在不正当关系。但要注意拍摄手段的合法性，不能通过非法侵入他人住宅、非法跟踪等方式获取，否则可能因证据来源不合法而不被采信。
- 证人证言：如果有知晓他们不正当关系的第三方，如邻居、朋友等，他们的证言也可以作为证据。证人需要出庭作证，接受双方当事人的质询，以证明其证言的真实性。例如，邻居可以证明经常看到“小三”和您配偶在晚上一起进入您家，且行为亲密。
二、证明侵害您权益的证据
要证明“小三”的行为对您的名誉权、婚姻关系等造成了侵害，这样才能进一步要求其公开道歉。
- 名誉受损的证据：如果因为“小三”的行为导致您在社会上的评价降低，比如周围人对您的议论、指责，或者您在工作、生活中受到歧视等，可以收集相关的证人证言、书面材料等作为证据。例如，同事可以证明因为您配偶的出轨事件，在单位里大家对您指指点点，影响了您的工作氛围和职业发展。
- 精神损害的证据：不正当关系可能给您带来精神上的痛苦和折磨，如焦虑、抑郁、失眠等。您可以提供医院的诊断证明、治疗记录等，证明您因为“小三”的行为导致了精神方面的损害。例如，您因为此事长期失眠，去医院就诊后，医生出具的诊断证明显示您患有焦虑症，这与“小三”的行为存在因果关系。
三、证明公开道歉必要性的证据
要说明“小三”公开道歉是必要的，以修复对您造成的损害和恢复您的名誉。
- 影响范围证据：收集证据证明“小三”与您配偶的不正当关系已经在一定范围内传播，对您的名誉造成了广泛影响。例如，可以提供社交媒体上的相关帖子、评论，或者周围社区、单位的知晓情况等。如果事件在网络上引起了大量关注和讨论，造成了恶劣影响，那么公开道歉就显得更为必要。
- 协商记录：如果您曾经与“小三”或您配偶就此事进行过协商，要求对方公开道歉，但对方拒绝，可以将协商的记录，如短信、邮件、通话录音等作为证据，证明您已经尝试通过协商解决问题，但未能成功，从而进一步说明公开道歉的必要性。
收集证据的注意事项
- 合法性：在收集证据的过程中，一定要遵守法律法规，不能采用非法手段获取证据。否则，即使证据真实有效，也可能因为来源不合法而不被法院采信。
- 及时性：证据具有时效性，有些证据可能会随着时间的推移而消失或难以收集。例如，聊天记录可能会被删除，证人可能会忘记相关细节等。因此，一旦发现“小三”的存在，应尽快收集证据。
- 完整性：收集的证据要尽可能完整，能够形成一个完整的证据链，以证明您所主张的事实。例如，仅有一张照片可能不足以证明不正当关系，还需要结合其他证据，如聊天记录、证人证言等，来增强证据的证明力。
如果您在收集证据或处理此类纠纷过程中遇到任何问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况为您提供专业的法律建议和帮助。