批捕后取保候审的决定权并非单一由某个机关掌握，而是由公安机关、人民检察院和人民法院根据各自职责和案件具体情况共同决定。以下是对此问题的详细分析：

一、主要决策机关及职责

1. 公安机关：

   • 在侦查阶段，公安机关对刑事案件负有侦查、拘留、执行逮捕等职责，并有权根据案件的具体情况和犯罪嫌疑人的社会危险性，决定是否对其采取取保候审措施。
   • 公安机关在收到取保候审申请后，会在三日以内作出决定，并通知申请人。如果不同意变更强制措施，会告知申请人并说明不同意的理由。

2. 人民检察院：

   • 在审查起诉阶段，人民检察院对案件进行审查，并有权根据案件情况和犯罪嫌疑人的社会危险性，决定是否采取取保候审措施。
   • 人民检察院同样会在收到申请后三日以内作出决定，并通知申请人。

3. 人民法院：

   • 在审判阶段，人民法院对案件进行审理，并有权根据案件情况和被告人的社会危险性，决定是否采取取保候审措施。
   • 人民法院的决定同样会在收到申请后三日以内作出，并通知申请人。

二、取保候审的适用条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，取保候审的适用条件包括：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。

三、申请流程与执行

1. 申请流程：

   • 犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权向公安机关、人民检察院或人民法院提出取保候审申请。
   • 申请时需要提交申请书、保证书、身份证明等相关材料。

2. 执行：

   • 一旦决定采取取保候审措施，由公安机关负责执行。
   • 执行时，通常会责令犯罪嫌疑人、被告人提出保证人或者交纳保证金，以确保其遵守相关规定和限制。

四、特殊情况下的决策权

• 在某些特定类型的案件中，如职务犯罪等，可能直接由检察机关立案侦查。此时，取保候审的决定由检察机关作出。

五、法律建议与注意事项

1. 及时申请：如果认为符合取保候审的条件，应及时向相关机关提出申请，以免错过最佳时机。
2. 准备充分：申请时，应准备充分的材料，以证明犯罪嫌疑人或被告人符合取保候审的条件。
3. 遵守规定：如果获得取保候审，应严格遵守相关规定和限制，如不得离开居住地、及时报告行踪等。否则，可能会被撤销取保候审，重新收押。

总结来说，批捕后取保候审的决定权并非单一由公安机关掌握，而是由公安机关、人民检察院和人民法院根据各自职责和案件具体情况共同决定。如果犯罪嫌疑人及其辩护人认为相关机关的决定不合理，可以通过合法的申诉、控告等途径来维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。