结论：浴池经营者是否应该承担部分责任，需根据摔伤的具体原因、浴池的安全措施是否到位，以及双方是否存在过错等多方面因素综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、浴池经营者可能承担责任的情形
未尽安全保障义务
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，公共场所的经营者、管理者有安全保障义务，若未尽到该义务造成他人损害，应当承担侵权责任。
- 具体表现：
- 地面湿滑未防滑：如浴池地面湿滑且未铺设防滑垫、设置防滑标识，导致顾客摔伤，浴池需承担主要或全部责任。
- 设施存在安全隐患：如楼梯扶手松动、热水管道裸露等未及时维修处理，导致顾客摔倒受伤，浴池应承担相应责任。
- 未提供必要安全提示：如未提醒顾客高温蒸汽房的使用时间和注意事项，导致顾客摔伤，浴池需承担一定责任。
管理责任缺失
- 浴池经营者应制定并执行严格的管理制度，确保洗浴场所的秩序和安全。例如，对于患有心脏病、高血压等不适宜高温洗浴的人群，浴池应设置明显的提示并拒绝其进入；同时，应配备必要的急救设备和人员，以便在紧急情况下能够及时救治。若因管理不善导致顾客受伤，浴池需承担相应责任。
二、顾客自身可能承担责任的情形
- 自身过错：如顾客在浴池中奔跑、嬉戏、饮酒后进入浴池等，导致摔倒受伤，顾客自身也需承担一部分责任。此时，双方通常按一定比例分担损失，具体比例由法院根据案件实际情况确定。
- 未尽注意义务：顾客在洗浴时也应注意自身安全，遵守浴池的规定和警示标志，避免发生意外。若因顾客未尽注意义务导致受伤，其自身也需承担相应责任。
三、浴池无责任的情形
- 若浴池已尽到合理的安全保障义务，如地面铺设防滑垫、设置警示标识、设施设备定期检查维护等，而顾客摔伤是由于自身突发疾病等不可预见、不可避免的原因导致的，浴池可能不需要承担责任。但浴池仍应在力所能及的范围内采取救助措施。
四、法律程序与建议
- 协商解决：摔伤后，建议先与浴池的经营者或管理者协商解决赔偿事宜。在协商过程中，可以明确各自的责任比例和赔偿金额。
- 法律途径：若协商不成，可通过法律途径维护自己的合法权益，向法院提起诉讼并要求相应的赔偿。在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明浴池存在过错或未尽安全保障义务。
- 证据留存：无论选择协商还是诉讼，都应注意留存相关证据，如事故现场照片、医疗记录、监控录像等。这些证据将有助于证明事故的原因和责任归属。
总结：浴池经营者是否应该承担部分责任，需根据具体情况综合判断。在处理此类案件时，应依法依规进行，确保公正合理。若您在此方面遇到法律问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。