结论：父亲有案底，且父母没有结婚证但有亲子鉴定的情况下，确实可能会对儿子产生一定影响，但具体影响程度需视情况而定。以下从不同角度进行分析：
一、父亲案底对儿子的直接影响
政审方面：
- 在一些特定情况下，如儿子报考公务员、参军、进入国家安全部门等需要政审的岗位时，父亲的案底可能会成为政审的考察内容。政审机构会综合考虑多种因素，包括家庭成员的犯罪记录等，来评估儿子的政治素质和可靠性。如果父亲的案底较为严重，可能会对儿子的政审结果产生不利影响。
社会评价方面：
- 父亲的案底可能会在一定程度上影响儿子在社会上的评价。尽管儿子本身没有过错，但社会观念中可能会存在对犯罪家庭成员的偏见或歧视，这可能会给儿子带来一定的心理压力和社会压力。
二、父母没有结婚证但有亲子鉴定的情况
法律关系认定：
- 父母没有结婚证，但存在亲子鉴定，这可以明确儿子与父亲之间的生物学关系。在法律上，这种亲子关系是受到保护的，儿子享有与婚生子女同等的权利和义务。
对儿子权益的影响：
- 尽管父母没有结婚证，但儿子的合法权益并不会因此受到损害。例如，儿子仍然有权继承父亲的遗产（在符合法定继承条件的情况下），有权要求父亲履行抚养义务等。
- 然而，在父亲有案底的情况下，这种非婚生子的身份可能并不会改变政审或社会评价等方面可能带来的影响。因为政审和社会评价更多地关注的是家庭成员的行为和背景，而不是家庭成员之间的法律关系。
三、建议与措施
了解具体案底情况：
- 如果父亲有案底，建议先了解具体案底的情况，包括犯罪的性质、情节、判决结果等。这有助于更准确地评估案底对儿子可能产生的影响。
积极准备政审材料：
- 如果儿子面临政审，建议积极准备相关材料，如亲子鉴定证明、父亲的无犯罪记录证明（如果可能的话）、儿子的个人表现材料等。这些材料有助于政审机构更全面地了解儿子的情况，从而做出更公正的评估。
寻求法律帮助：
- 如果认为父亲的案底对儿子产生了不公正的影响，或者儿子在政审、社会评价等方面遇到了困难，建议寻求专业的法律帮助。律师可以根据具体情况提供法律咨询和法律援助，帮助儿子维护自己的合法权益。
最后，父亲有案底且父母没有结婚证但有亲子鉴定的情况下，确实可能会对儿子产生一定影响。但具体影响程度需视情况而定，包括案底的性质、儿子的个人表现、政审或社会评价的具体要求等。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。