可以申请工伤鉴定，但能否被认定为工伤需结合具体情况判断。以下是详细分析：

1. 工伤认定的核心条件
   根据《工伤保险条例》第十四条，工伤认定需满足“工作时间、工作场所、因工作原因”三要素。若您在私立医院接受治疗的原因符合以下情形之一，可申请工伤认定：

   • 因工作遭受事故伤害（如工作中操作设备受伤）；
     
   • 患职业病（如长期接触有毒物质导致的疾病）；
     
   • 上下班途中发生非本人主要责任的交通事故等。
     

2. 私立医院治疗不影响工伤认定资格
   法律未限制工伤治疗机构的性质，无论是公立还是私立医院，只要治疗行为与工伤直接相关（如急诊抢救、后续康复等），均可作为工伤认定的医疗依据。但需注意：

   • 需保留私立医院的诊断证明、病历、费用清单等材料；
     
   • 若私立医院不具备某些治疗资质（如职业病诊断），可能需转诊至指定机构。
     

3. 申请流程与注意事项

   • 申请主体：用人单位应在30日内申请；逾期未申请的，劳动者或其近亲属可在1年内直接向社保部门申请。
     
   • 所需材料：工伤认定申请表、劳动关系证明、医疗诊断证明等。
     
   • 争议处理：若对认定结果不服，可申请行政复议或提起行政诉讼。
     

建议：若您符合工伤条件，即使选择私立医院治疗，也应尽快收集证据并启动工伤认定程序。如有细节疑问（如职业病诊断、交通事故责任认定等），可进一步向我咨询，我会结合具体情形为您分析。