行政机关判定私人协议签字按手印的法律效力，主要依据以下核心标准，符合条件的即认定有效：

1. 主体适格性
   协议双方需具备完全民事行为能力（如年满18周岁且精神正常），或虽为限制民事行为能力人但协议内容与其年龄、智力相适应（如未成年人购买学习用品）。若一方为无/限制民事行为能力人，需法定代理人追认，否则协议效力待定。

2. 意思表示真实性
   签字按手印需基于双方真实意愿，排除欺诈、胁迫、重大误解等情形。例如：

   • 若一方以暴力威胁迫使对方签字，协议可撤销；
     
   • 若签字时对协议关键条款（如金额、履行期限）存在误解，可主张变更或撤销。
     行政机关可能通过询问当事人、调取监控等方式核查签署过程。

3. 内容合法性
   协议内容不得违反法律、行政法规的强制性规定，或违背公序良俗。例如：

   • 约定“高利贷利息”因违反《民法典》第680条而无效；
     
   • 约定“代孕”因违背公序良俗而无效。
     行政机关会审查协议条款是否涉及非法活动（如赌博、贩毒）或损害国家、社会利益。

4. 形式合规性
   签字按手印需满足法定或约定形式要求：

   • 法定形式：如《民法典》第469条规定，书面合同需双方签字、盖章或按手印，三者效力等同；
     
   • 约定形式：若双方明确约定“必须签字+按手印+公证”，则未公证的协议可能因未满足形式要件而无效。
     行政机关会核对签字与身份证姓名是否一致，手印是否清晰可辨。

5. 程序正当性
   签署过程需符合程序要求，例如：

   • 涉及重大财产处置（如房屋买卖）时，需双方到场签字按手印；
     
   • 若一方为法人，需法定代表人签字并加盖公章，仅按手印可能无效。
     行政机关可能要求提供签署时的见证人证言或录音录像。

行政机关判定流程：

1. 形式审查：核对签字、手印的真实性（如通过指纹鉴定）；
   
2. 实质审查：调查协议背景、签署过程，判断是否存在无效情形；
   
3. 结果认定：符合上述条件的，出具《协议效力认定书》；存在瑕疵的，可能要求补正或直接认定无效。

提示：若对行政机关的认定结果有异议，可在收到决定书之日起60日内申请行政复议，或6个月内向法院提起行政诉讼。如有具体协议需审查，可直接向我提供协议文本及签署背景，我将进一步分析效力风险。