事业单位人员在企业担任监事的处理方式需分情况讨论，核心结论如下：

1. 若事业单位人员属于公务员或参照公务员管理的人员
   根据《公务员法》第五十九条及《行政机关公务员处分条例》第二十七条，公务员不得从事或者参与营利性活动，在企业或者其他营利性组织中兼任职务。若该人员属于此类身份，担任企业监事属于违规行为，可能面临警告、记过甚至撤职处分，且需立即辞去企业监事职务。
   法律依据：《公务员法》第五十九条第（十六）项明确禁止公务员违反有关规定从事或者参与营利性活动，在企业或者其他营利性组织中兼任职务；《行政机关公务员处分条例》第二十七条进一步规定，从事或者参与营利性活动，在企业或者其他营利性组织中兼任职务的，给予记过或者记大过处分；情节较重的，给予降级或者撤职处分；情节严重的，给予开除处分。

2. 若事业单位人员属于非参照公务员管理的普通事业编制人员
   需分两步判断：

   • 第一步：核查单位内部规定
     部分事业单位（如学校、医院等）可能通过内部规章制度禁止员工在外兼职。若单位有明确规定，需优先遵守内部规则，否则可能面临单位内部的纪律处分（如警告、扣发奖金等）。
     
   • 第二步：核查兼职是否影响本职工作
     根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第十八条，事业单位工作人员不得“违反国家规定，从事、参与营利性活动或者兼任职务领取报酬”。若兼职未影响本职工作且未领取报酬，法律风险较低；但若因此导致工作失职或利益冲突（如监事企业与本单位有业务往来），可能构成“玩忽职守”或“利益输送”，需承担行政责任甚至刑事责任。
     建议：提前向单位报备兼职情况，并签署书面承诺书，明确兼职不领取报酬、不影响本职工作，以降低风险。

3. 若事业单位人员已退休
   退休人员原则上不受在职身份限制，但需注意：

   • 若原单位对退休人员兼职有特殊规定（如要求报备），仍需遵守；
     
   • 若监事企业与原单位存在利益关联（如供应商、合作方），可能涉及“利用原职务影响力谋利”，需谨慎避免。
     

总结建议：

• 优先确认自身身份性质（公务员/事业编/退休）及单位内部规定；
  
• 若属公务员或单位禁止兼职，立即辞去监事职务；
  
• 若属普通事业编且单位允许，建议书面报备并保留证据；
  
• 无论何种情况，均需确保兼职不领取报酬、不影响本职工作、无利益冲突。
  

如有进一步细节（如单位类型、兼职是否领酬等），可继续向我咨询，我会结合具体情形为您细化分析。