结论：劳务公司是否和劳务工签订劳务合同，这主要取决于劳务公司与劳务工之间的实际法律关系以及双方的具体约定。一般来说，如果双方构成劳动关系，则应签订劳动合同；如果仅构成劳务关系，则可能签订劳务合同。

分析说明：

1. 劳动关系与劳务合同的区别：

   • 劳动关系：当劳务工接受劳务公司的管理，从事劳务公司安排的有报酬的劳动，且该劳动是劳务公司业务的组成部分时，双方通常构成劳动关系。在这种情况下，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳务公司应当与劳务工签订劳动合同，明确双方的权利和义务，包括工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬、社会保险等。
   • 劳务关系：如果劳务工与劳务公司之间仅是基于某种特定任务或项目而形成的临时性、一次性的工作关系，且劳务工不受劳务公司的全面管理，那么双方可能构成劳务关系。在这种情况下，双方可以签订劳务合同，约定劳务内容、劳务报酬、支付方式等条款。但需要注意的是，劳务合同并不受《中华人民共和国劳动合同法》的调整，而是受《中华人民共和国民法典》等民事法律的调整。

2. 实际法律关系的判断：

   • 在实践中，判断劳务公司与劳务工之间是劳动关系还是劳务关系，需要综合考虑多种因素，如双方的管理关系、劳动报酬的支付方式、工作内容的性质等。如果劳务工接受劳务公司的全面管理，且劳动报酬是按月或按其他固定周期支付的，那么双方更可能构成劳动关系。
   • 如果劳务工仅是在特定任务或项目中为劳务公司提供劳务，且劳动报酬是按任务或项目完成的进度支付的，那么双方可能构成劳务关系。

3. 法律建议：

   • 对于劳务公司而言，应当根据与劳务工之间的实际法律关系，选择签订合适的合同类型。如果构成劳动关系，则必须签订劳动合同，以遵守劳动法律法规的规定，保障劳务工的合法权益。
   • 对于劳务工而言，应当了解自己与劳务公司之间的实际法律关系，并根据关系类型要求签订相应的合同。如果构成劳动关系而劳务公司未签订劳动合同，劳务工有权要求劳务公司签订，并可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁以维护自己的权益。

特殊场景：

• 在某些特殊情况下，如劳务派遣中，劳务工可能与劳务派遣公司签订劳动合同，而被派遣到用工单位工作。此时，劳务工与劳务派遣公司之间构成劳动关系，而与用工单位之间则构成劳务关系（但用工单位仍需承担一定的用工责任）。这种情况下，合同签订和法律关系更为复杂，需要特别注意。

后续行动建议：

• 如果你作为劳务工或劳务公司代表，对合同签订和法律关系存在疑问，建议直接向我咨询，提供更详细的信息（如双方的管理关系、劳动报酬支付方式等），以便我能给出更具体的法律建议。