肇事逃逸案件主要由公安机关交通管理部门负责管辖。下面我将从管辖部门、处罚措施以及责任承担等多个角度为你详细分析：
一、管辖部门
主要负责部门：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，车辆发生交通事故后逃逸的，应向公安机关交通管理部门报告，由该部门进行调查和处理。具体来说，交通肇事逃逸案件一般由事故发生地的公安机关交通管理部门（通常是交警大队）负责。
特殊情况下的管辖：
- 跨区域案件：若肇事逃逸案件涉及多个地区，可能由共同的上一级公安机关交通管理部门指定管辖，或者相关地区的交警部门联合协作处理，以确保调查的顺利进行和案件的妥善解决。
- 高速公路案件：在高速公路上发生的交通肇事逃逸案件，由具备专业高速道路管理和事故处理能力的高速公路交通警察部门负责。
与派出所的区别：
- 肇事逃逸的案件应由交警部门处理，而非派出所。派出所主要负责部分治安案件，而车祸及肇事逃逸等交通事故因涉及专业的现场勘查、责任认定及法律处理，归交警部门管辖。
二、处罚措施
行政处罚：
- 依据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，并可以并处十五日以下拘留。同时，吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得。
刑事处罚：
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役。
- 交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。
- 因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
三、责任承担
民事赔偿责任：
- 逃逸者通常需承担全部责任，包括赔偿受害人的医疗费、误工费、护理费等各项损失。但在有证据证明对方当事人也有过错的情况下，逃逸者的责任可以适当减轻。
- 若肇事车辆投保了交强险，保险公司将在责任限额范围内进行赔偿。若逃逸行为导致商业保险无法理赔，剩余的赔偿责任将由逃逸者自行承担。
行政责任与刑事责任的关系：
- 行政处罚和刑事处罚是两种不同的法律责任，它们可以并存。也就是说，逃逸者可能同时面临行政处罚和刑事处罚。
四、实际应用中的建议
- 对于受害者或目击者：应迅速向公安机关交通管理部门报案，并提供尽可能多的线索，如肇事车辆的车牌号、车型、颜色以及逃逸方向等，以便启动调查程序。
- 对于潜在肇事者：应明白逃逸不仅不能逃避责任，反而可能面临更严重的法律后果。因此，遵守交通规则，发生事故后及时停车、报警并协助处理是明智的选择。
综上所述，肇事逃逸案件的管辖与处罚是一个涉及多部法律法规的复杂问题。如果你或你身边的人遇到了类似的情况，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。