结论：在合同发给客户但客户不签回且多次催促无果的情况下，责任归属不能一概而论，需根据具体情况分析，可能涉及合同是否成立、双方过错程度等因素。以下从不同角度进行详细分析：
一、合同是否成立的角度
若合同为要式合同且需双方签字盖章才成立：
- 在此情况下，由于客户未签回合同，合同尚未成立。此时，若因客户不签回导致合同无法成立，且客户存在故意或重大过失（如无正当理由拒绝签署），则客户可能需承担一定的缔约过失责任。缔约过失责任是指在合同订立过程中，一方因违背其依据的诚实信用原则所产生的义务，而致另一方的信赖利益的损失，应承担的损害赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第五百条：“当事人在订立合同过程中有下列情形之一，造成对方损失的，应当承担赔偿责任：（一）假借订立合同，恶意进行磋商；（二）故意隐瞒与订立合同有关的重要事实或者提供虚假情况；（三）有其他违背诚信原则的行为。”
若合同为非要式合同或双方已实际履行主要义务：
- 对于非要式合同，或者双方虽未签字盖章但已实际履行主要义务的，合同可能被视为成立。此时，若客户未签回合同但已接受服务或货物等，则客户应履行合同约定的付款等义务。若客户拒绝履行，则可能构成违约，需承担违约责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第四百九十条：“当事人采用合同书形式订立合同的，自当事人均签名、盖章或者按指印时合同成立。在签名、盖章或者按指印之前，当事人一方已经履行主要义务，对方接受时，该合同成立。”
二、双方过错程度的角度
若客户无正当理由拒绝签署合同：
- 如前所述，若客户无正当理由拒绝签署合同，且导致合同无法成立或给对方造成损失的，客户可能需承担缔约过失责任或违约责任（若合同已成立）。
若发件方存在过错：
- 若发件方在发送合同过程中存在过错，如合同条款存在歧义、未明确告知客户签署合同的期限或方式等，导致客户无法或不愿签署合同的，发件方可能需承担一定的责任。此时，责任的大小需根据双方的过错程度进行划分。
三、实际操作建议
与客户沟通：
- 首先，建议发件方与客户进行进一步沟通，了解客户不签回合同的具体原因。若客户存在误解或疑问，发件方应及时解答并消除客户的顾虑。
发送书面催告：
- 若沟通无果，发件方可以发送书面催告函给客户，明确要求客户在一定期限内签署合同并返回。催告函应注明若客户未在规定期限内签署合同，发件方将采取进一步法律措施。
考虑法律途径：
- 若客户仍拒绝签署合同且给发件方造成损失的，发件方可以考虑通过法律途径维护自己的权益。这可能包括提起诉讼要求客户承担缔约过失责任或违约责任等。
总结与启示：在合同发送给客户但客户不签回的情况下，责任归属需根据具体情况分析。发件方应首先与客户进行沟通并了解原因，若沟通无果则可以考虑发送书面催告或采取法律途径维护自己的权益。同时，发件方在发送合同前也应确保合同条款清晰明确、无歧义，并明确告知客户签署合同的期限和方式等，以减少类似纠纷的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。