关于不履行法定职责时行政复议期限是否可以延长的问题，结论如下：
一般情况下，行政复议期限不可延长
- 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请；但是法律规定的申请期限超过六十日的除外。这一期限是法定的，旨在保障行政复议的效率和及时性，因此，在一般情况下，行政复议期限是不可延长的。
特殊情况下，可能存在期限延长的情形，但需严格符合法定条件
- 尽管行政复议期限原则上不可延长，但在某些特殊情况下，如因不可抗力或者其他正当理由耽误法定申请期限的，申请期限自障碍消除之日起继续计算。这里的“不可抗力”通常指的是不能预见、不能避免并不能克服的客观情况，如自然灾害、战争等。而“其他正当理由”则可能包括因疾病、交通中断等无法预见或无法克服的原因导致的延误。
- 需要注意的是，即使存在上述特殊情况，申请期限的延长也并非自动发生，而是需要申请人向行政复议机关提出申请，并说明延误的原因和提供相关证据。行政复议机关在审查后，认为符合法定条件的，才会决定延长申请期限。
不履行法定职责与行政复议期限的关系
- 当行政机关不履行法定职责时，公民、法人或者其他组织有权依法提出行政复议申请。此时，行政复议期限的计算仍然遵循上述规定。即，从知道行政机关不履行法定职责之日起六十日内提出行政复议申请（法律另有规定的除外）。
- 如果申请人认为行政机关的不履行法定职责行为已经对其合法权益造成了损害，且因特殊原因无法在法定期限内提出行政复议申请的，应当及时向行政复议机关说明情况，并申请延长申请期限。但如前所述，这种延长并非自动发生，而是需要行政复议机关的审查和决定。
法律建议：
- 如果您认为行政机关存在不履行法定职责的行为，且希望提出行政复议申请，请务必在法定期限内提出。
- 如因特殊原因无法在法定期限内提出申请的，请及时向行政复议机关说明情况，并准备相关证据以支持您的延长申请。
- 在整个过程中，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律指导和帮助，确保您的权益得到充分保障。
可能产生的法律后果：
- 如果未在法定期限内提出行政复议申请，且未获得行政复议机关的延长批准，您可能会丧失通过行政复议途径维护自身权益的机会。
- 如果行政复议机关认为您的延长申请不符合法定条件而拒绝延长，您同样需要承担因未按时提出申请而可能产生的法律后果。