赔偿需根据实际损失情况，结合侵权责任法相关规定，由侵权人承担修复费用、精神损害赔偿等合理费用。具体分析如下：

1. 责任主体与侵权行为认定
   根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。本案中，私人砍伐树木的行为直接导致祖坟被砸坏，砍伐者作为直接侵权人，需对损害结果承担全部责任。若砍伐行为涉及违法采伐（如无采伐许可证砍伐保护树种），还可能触犯《森林法》第76条，需承担行政处罚，但这不影响民事赔偿责任的独立认定。

2. 赔偿范围与计算标准

   • 物质损失：包括祖坟修复费用（如墓碑更换、土方回填、绿化恢复等实际支出），需以正规票据或第三方评估机构出具的修复方案及费用清单为依据。
     
   • 精神损害赔偿：祖坟作为特殊纪念物，承载着家族情感与文化价值。根据《民法典》第1183条，若侵权行为严重侵害死者近亲属的精神利益（如祖坟完全损毁、家族祭祀活动受阻），受害方可主张精神损害抚慰金。具体金额需结合侵权人过错程度、当地经济水平、家族受影响程度等因素综合判定，通常在数千元至数万元不等。

3. 赔偿程序与证据固定

   • 现场取证：立即拍摄祖坟损毁前后对比照片、视频，记录树木砍伐痕迹、现场环境等，固定侵权行为与损害结果的因果关系。
     
   • 报警处理：向当地公安机关报案，要求出具《接处警登记表》或《受案回执》，证明侵权事实存在。若涉及林木盗伐，公安机关立案后，刑事附带民事诉讼可一并主张赔偿。
     
   • 协商或诉讼：优先与侵权人协商赔偿方案；若协商无果，可向法院提起民事诉讼，需提交证据材料（如现场照片、修复费用清单、精神损害证明等）及赔偿清单。

4. 特殊情形处理

   • 若侵权人拒不赔偿：可申请法院强制执行，冻结其银行账户、查封财产或限制高消费。
     
   • 若祖坟涉及文物保护：如为清代古墓等受《文物保护法》保护的遗址，需立即联系当地文物部门介入，侵权人可能面临更严厉的刑事处罚（如故意损毁文物罪）。
     

行动建议：立即固定证据，联系侵权人协商赔偿；若协商未果，尽快委托律师起草《律师函》或直接向法院起诉，避免因拖延导致证据灭失或侵权人转移财产。如有其他细节需补充（如祖坟历史价值、侵权人身份等），可进一步说明以便精准分析。