结论前置：肇事司机撞死人后自杀，其家人是否需要承担赔偿责任，主要取决于他们是否继承了肇事司机的遗产、事故责任认定情况，以及是否存在其他赔偿义务人（如保险公司）。以下是对这一问题的详细分析：
遗产与继承的法律规定：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，如果肇事司机留有遗产，并且其家人选择继承这些遗产，那么继承人需以所得遗产实际价值为限，清偿被继承人（即肇事司机）依法应当承担的债务，这包括因交通事故产生的赔偿责任。若遗产价值不足以清偿全部债务，超出部分除非继承人自愿偿还，否则无需负责。
- 若肇事司机的家人明确表示放弃继承遗产，则他们对肇事司机因交通事故所产生的赔偿债务可以不负清偿责任。放弃继承应当以书面形式作出明确表示。
事故责任的认定：
- 事故责任的认定是决定赔偿金额和责任分配的关键因素。如果肇事司机在事故中负有全部或主要责任，并且导致了他人死亡，那么其需要承担的赔偿责任会相应增加。这种责任并不会因为司机的自杀而消失，而是可能由其遗产来承担，或者由其他责任人（如保险公司）根据保险条款进行赔付。
保险公司的角色：
- 如果肇事车辆购买了机动车第三者责任强制保险或其他相关保险，那么首先应由保险公司在保险责任限额范围内对受害者进行赔偿。不足的部分，才会涉及肇事司机及其家人的赔偿责任问题。因此，在处理此类事故时，应首先查看保险条款，确定保险公司的赔付范围和金额。
实际操作中的考虑：
- 在实际操作中，受害者家属可以通过法律程序来寻求赔偿，包括起诉肇事司机的遗产继承人、保险公司或其他相关责任人。法院会根据事实和法律规定来判决赔偿责任和赔偿金额，确保受害者的合法权益得到保障。
- 同时，对于肇事司机的家人来说，如果他们选择继承遗产，就需要做好承担相应赔偿责任的准备。如果他们选择放弃继承，则可以在法律上避免承担赔偿责任，但这也可能意味着他们无法获得肇事司机留下的任何财产。
法律建议：
- 对于受害者家属来说，建议尽快咨询专业律师，了解自己的权益和可能的赔偿途径。律师可以帮助他们分析事故责任、保险条款以及肇事司机遗产情况，从而制定出合理的赔偿策略。
- 对于肇事司机的家人来说，如果面临继承遗产和承担赔偿责任的问题，也建议咨询专业律师。律师可以帮助他们了解继承法的相关规定，评估继承遗产的风险和收益，从而做出明智的决策。
可能法律后果：
- 如果肇事司机的家人选择继承遗产并承担赔偿责任，他们可能需要支付一定金额的赔偿金给受害者家属。
- 如果肇事司机的家人选择放弃继承遗产，则他们通常无需承担赔偿责任，但这也意味着他们无法获得肇事司机留下的任何财产。
总之，肇事司机撞死人后自杀，其家人是否需要承担赔偿责任是一个复杂的问题，需要考虑多个因素的综合影响。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。