结论：邻居推翻您家农田的铁丝网是否犯法，需根据具体情况判断，主要包括铁丝网是否合法设置、邻居行为是否构成侵权或违法等。以下从不同角度进行分析：

一、铁丝网设置的合法性

1. 合法设置：

   • 如果您家农田的铁丝网是依法设置，且未侵犯邻居的合法权益（如未占用邻居土地、未妨碍邻居正常通行等），那么铁丝网作为您家农田的合法围护设施，受法律保护。
   • 在此情况下，邻居推翻铁丝网的行为可能构成对您的财产权的侵犯，您有权要求邻居恢复原状、赔偿损失，并可能依据《治安管理处罚法》的相关规定，要求公安机关对邻居进行处罚。

2. 非法设置：

   • 如果铁丝网设置存在违法情形，如占用了公共道路、邻居土地或违反了当地关于农田围护设施的规定，那么铁丝网可能面临被拆除的风险。
   • 在此情况下，邻居推翻铁丝网的行为虽然可能出于维权目的，但方式可能不当。您应首先自行拆除非法设置的铁丝网，以避免进一步的法律纠纷。若邻居的行为给您造成了其他损失，您可依法主张赔偿，但需注意证据的收集和保存。

二、邻居行为的性质

1. 构成侵权：

   • 无论铁丝网设置是否合法，如果邻居的行为导致您的财产受损（如铁丝网被推翻、农田作物受损等），且邻居无法证明其行为的合法性或合理性，那么邻居的行为可能构成侵权。
   • 您有权依据《民法典》中关于侵权责任的规定，要求邻居承担侵权责任，包括恢复原状、赔偿损失等。

2. 构成违法：

   • 如果邻居的行为情节严重，如故意毁坏财物、寻衅滋事等，可能触犯《刑法》或《治安管理处罚法》的相关规定。
   • 在此情况下，您有权向公安机关报案，要求依法追究邻居的刑事责任或行政责任。

三、建议与措施

1. 收集证据：

   • 在处理此类纠纷时，证据的收集至关重要。您应尽快拍摄现场照片、视频，保留铁丝网设置的相关凭证（如购买发票、安装合同等），以及邻居行为的证人证言等。

2. 协商解决：

   • 在证据充分的情况下，您可以尝试与邻居进行协商，寻求和解。通过友好沟通，可能能够达成双方都能接受的解决方案，避免进一步的法律纠纷。

3. 寻求法律帮助：

   • 如果协商无果，您可以咨询专业律师（即我本人，高震律师，专注于刑事辩护、房产纠纷、经济纠纷领域），了解您的法律权益和可能的维权途径。
   • 根据律师的建议，您可以向相关部门（如公安机关、法院等）提出申诉或起诉，要求依法处理纠纷。

总结：邻居推翻您家农田的铁丝网是否犯法，需根据铁丝网设置的合法性和邻居行为的性质来判断。在处理此类纠纷时，建议您收集证据、协商解决，并在必要时寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。