结论：父亲已故，在母亲仍然健在且承担抚养责任的情况下，该家庭从广义和实际应用的角度来看，通常被视为单亲家庭。但在法律层面，“单亲家庭”并无严格统一的定义，其认定可能因政策、法规或社会支持措施的不同而有所差异。

详细分析：

1. 单亲家庭的概念及广义认定：

   • 单亲家庭通常指的是由于丧偶、离异、分居或构成家庭主体的成员不齐全，由母亲或父亲单个抚养孩子的家庭。在父亲去世后，孩子仅由母亲抚养，这符合单亲家庭在广义上的特征。家庭结构的不完整性导致孩子在成长过程中只有母亲一方的陪伴。

2. 法律视角下的单亲家庭：

   • 在法律上，“单亲家庭”并没有一个严格统一的定义。通常，由于离婚、丧偶或未婚等原因，仅由父亲或母亲一方与子女共同生活的家庭可被视为单亲家庭。因此，在父亲去世后，如果母亲仍然健在且承担抚养责任，虽然法律上可能并未明确将其定义为单亲家庭，但在实际应用中，这样的家庭往往被视为单亲家庭，特别是在涉及社会福利、教育优惠等政策时。

3. 实际抚养状况的影响：

   • 实际抚养状况也是判断是否为单亲家庭的重要因素。如果母亲实际履行抚养职责，即使父亲去世，该家庭在法律上仍可能被视为完整家庭结构的延续（如母亲再婚的可能性存在）。然而，如果母亲因疾病、失踪等原因丧失抚养能力，导致子女长期由祖父母等其他亲属抚养，则实质上构成单亲抚养模式，这样的家庭在实际生活中也会被视为单亲家庭。

4. 社会认知与支持：

   • 公众通常将“单亲家庭”与“离异家庭”“丧偶后未再婚家庭”直接关联。如果母亲未再婚且独自抚养孩子，虽然法律上可能并未明确界定为单亲家庭，但社会支持体系（如学校资助政策、社区服务等）可能会将其纳入帮扶范围，提供必要的支持和帮助。

建议：

• 如果您需要了解在具体情境下（如申请社会福利、教育优惠等）单亲家庭的认定标准，建议咨询相关部门或专业人士，以获取最准确的信息。
• 在处理涉及单亲家庭的法律问题时，如抚养权、继承权等，建议根据具体情况并参考当地的相关法律法规和政策来进行判断和操作。

如果您有任何关于婚姻家庭领域的法律问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。