结论前置：试用期公司不可以不签合同，公司必须与员工签订包含试用期条款的正式劳动合同。
详细分析：
法律明确规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系即应订立书面劳动合同，这一原则同样适用于试用期。也就是说，无论是否处于试用期，只要建立了劳动关系，就应当签订书面劳动合同。
- 《劳动合同法》第十九条进一步明确，试用期是包含在劳动合同期限内的，不能单独作为一份独立的合同存在。如果公司仅与员工签订所谓的“试用期合同”，那么该合同实际上会被法律认定为正式的劳动合同，而约定的“试用期”也将被视为劳动合同期限的一部分。
不签订劳动合同的法律风险：
- 对公司的风险：如果公司未与员工签订书面劳动合同，但在实际上存在劳动关系，公司需在用工之日起一个月内补签劳动合同。若超过一个月仍未签订，从第二个月起需向员工支付双倍的工资作为赔偿，最多支付十一个月的双倍工资。这不仅增加了公司的经济负担，还可能损害公司的声誉和形象。
- 对员工的风险：无合同则劳动者的工资待遇、工作条件等权益易受侵害，且在证明与用人单位的劳动关系时面临更高难度，维权难度大。
试用期合同的关键条款：
- 为了避免法律风险和维护员工的合法权益，公司应在劳动合同中明确约定试用期的时间、工作内容、工作地点、劳动报酬等关键条款。这些条款的明确约定有助于双方在执行过程中更好地理解和遵守合同约定，减少因理解不一致而产生的争议。
实际操作建议：
- 公司：应在员工入职时立即与其签订书面劳动合同，明确试用期条款及各项关键内容，确保合法合规。同时，公司也应严格遵守相关法律法规的规定，确保用工行为的合法性和规范性。
- 员工：应主动要求签订劳动合同，并仔细阅读合同条款，确保自身权益得到充分保护。如果公司拒绝签订或拖延签订劳动合同，员工有权向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
举例说明：
假设小张入职一家公司，公司告知他前三个月为试用期，但未与他签订书面劳动合同。三个月后，公司以小张不符合录用条件为由解除了劳动关系，且未支付任何经济补偿。在这种情况下，小张可以依据《劳动合同法》的相关规定，向公司主张未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿，并要求公司支付违法解除劳动关系的经济补偿。
总结与建议：
试用期公司不可以不签合同，这是法律明确规定且对双方权益至关重要的要求。公司应严格遵守相关法律法规的规定，与员工签订包含试用期条款的正式劳动合同。员工也应主动要求签订合同，并仔细阅读合同条款，确保自身权益得到充分保护。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。