结论前置：公司在特定情形下辞退员工无需支付经济补偿，但必须严格遵守相关法律法规和程序规定，确保辞退行为的合法性。以下是具体情形及详细解释：
一、劳动者自身原因导致的辞退
试用期不符合录用条件
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项，劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同且无需赔偿。
- 关键点：
- 用人单位需在招聘时明确具体的录用条件，并在试用期内对劳动者进行客观、公正的考核。
- 若劳动者被证明不符合这些明确的录用条件，用人单位需保留相关证据（如试用期考核不合格记录等），以便在辞退时提供证明。
- 示例：某公司招聘程序员时明确要求熟练掌握特定编程语言，但试用期内发现应聘者远未达到该要求，无法完成工作任务，此时公司可合法辞退且不赔偿。
严重违反用人单位规章制度
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项，劳动者严重违反用人单位规章制度的，用人单位可解除合同。
- 关键点：
- 用人单位的规章制度需合法、合理，且经过民主程序制定并向劳动者公示。
- 违纪行为需达到“严重”程度，如多次旷工、泄露商业秘密等。
- 用人单位需保留劳动者违纪的相关证据（如监控录像、书面警告等）。
- 示例：若公司规定不得在工作时间内进行娱乐活动，而某员工多次违规玩游戏且经警告不改，公司可依法辞退该员工。
失职或营私舞弊造成重大损害
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项，因劳动者失职或营私舞弊导致单位重大损失的，可解除合同。
- 关键点：
- 需提供损失金额证明（如财务审计报告）及因果关系证据（如操作失误记录）。
- “重大损害”的标准由用人单位在规章制度中明确规定，并需符合行业惯例和合理预期。
- 示例：财务人员疏忽大意导致公司资金被骗取数十万元，公司可依法辞退该员工。
双重劳动关系影响本职工作
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项，劳动者同时与其他单位建立劳动关系且拒不改正的，可解除合同。
- 关键点：
- 需提供兼职协议、考勤冲突记录等证据，证明劳动者的兼职行为影响了本职工作。
- 用人单位需书面通知劳动者整改，若劳动者拒不改正，方可辞退。
- 示例：员工在正常工作时间内为另一家公司提供服务，导致本职工作延误、错误频发，公司可依法辞退该员工。
欺诈胁迫订立合同
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条和第三十九条，以欺诈手段使对方在违背真实意思的情况下订立的劳动合同无效，用人单位可解除合同。
- 关键点：
- 需提供虚假学历证书、隐瞒病史等欺诈行为的直接证据。
- 欺诈行为需导致劳动合同无效或部分无效。
- 示例：劳动者提供虚假的工作经历骗取用人单位签订劳动合同，公司可依法辞退该员工。
被依法追究刑事责任
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可解除合同。
- 关键点：
- 需提供生效判决书、拘留通知书等法律文书作为证明。
- 包括被人民检察院免予起诉、被人民法院判处刑罚等情况。
- 示例：劳动者因犯罪被判刑，公司可依法辞退该员工。
二、客观情况变化导致的辞退（但需注意，这些情形通常仍需支付经济补偿，除非符合特定不赔偿条件）
- 经济性裁员：虽然《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条规定了经济性裁员的情形，但通常仍需按N+1标准支付补偿金。不过，若公司能证明裁员是由于不可抗力或政府行为等不可归责于公司的原因导致，且已履行法定程序，可能无需支付额外补偿（但此情形较为复杂，需具体分析）。
- 无过失性辞退但已支付代通知金：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，医疗期满不能从事原工作、不胜任工作经培训调岗后仍不胜任等情况可解除合同，但需支付N个月工资的经济补偿金。若公司未支付补偿金，则仍构成违法解除。
三、特殊注意事项
- 程序合法性要求：所有辞退均需履行法定程序（如通知工会、出具书面解除通知），否则可能构成违法解除，需支付赔偿金。
- 举证责任分配：用人单位需对辞退理由承担举证责任，如无法提供充分证据将面临败诉风险。
- 例外情形限制：女职工三期（孕期、产期、哺乳期）、工伤职工等特殊群体受特别保护，不得随意辞退。
总结与建议：公司在辞退员工时，必须严格遵守相关法律法规和程序规定，确保辞退行为的合法性。若公司违法辞退员工，仍需承担相应的法律责任和经济赔偿责任。因此，建议公司在辞退员工前，务必咨询专业律师或法律顾问，以确保辞退行为的合法性和合规性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。