在我国法律框架下，赡养关系不能通过任何法律程序或行政手续“断绝”，因此不存在需要去某个机构办理断绝赡养关系手续的情况。以下从法律背景、法律建议和可能法律后果三个角度详细分析：

法律背景

赡养义务是法定的，它基于父母与子女之间的血缘关系或法律拟制的亲子关系而产生。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。这种义务是强制性的，不因任何原因而免除，包括父母离婚、子女与父母分居或子女经济状况不佳等。因此，从法律上讲，赡养关系是无法被“断绝”的。

法律建议

1. 理解赡养义务的不可免除性：子女应认识到，赡养父母是法律规定的义务，无法通过任何方式免除。即使父母与子女之间存在矛盾或纠纷，也不能成为拒绝赡养的理由。

2. 积极履行赡养义务：子女应尽力履行对父母的赡养义务，包括提供经济支持、生活照料和精神慰藉等。如果确实存在困难或无法直接履行赡养义务，可以与父母协商寻求其他解决方案，如委托他人照顾或支付赡养费等。

3. 寻求法律援助或调解：如果子女与父母之间因赡养问题产生纠纷，可以寻求法律援助或调解机构的帮助。这些机构可以提供专业的法律咨询和调解服务，帮助双方达成和解或找到合理的解决方案。

可能法律后果

1. 法律责任：如果子女拒绝履行赡养义务，父母有权向法院提起诉讼，要求子女承担法律责任。法院可能会判决子女支付赡养费、履行赡养义务或承担其他法律责任。

2. 社会舆论压力：拒绝赡养父母不仅可能面临法律责任，还可能受到社会舆论的谴责。这种舆论压力可能对子女的声誉和形象造成负面影响。

3. 家庭关系破裂：拒绝赡养父母可能导致家庭关系破裂，影响家庭成员之间的感情和信任。这种破裂可能难以修复，对家庭成员的心理健康和生活质量产生长期影响。

总结来说，赡养关系是无法被“断绝”的，子女应积极履行赡养义务，寻求合理的解决方案来处理与父母之间的纠纷。如果遇到法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。