在法律上，自然血亲的子女关系是无法断绝的，因此不存在办理断绝子女关系的相关机构或程序。以下是对此问题的详细分析：

一. 自然血亲关系无法断绝

• 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母与子女之间的血缘关系是基于出生事实而产生的，这种关系在法律上是不可解除的。无论双方的情感关系如何变化，法律上的权利义务关系仍然存在。
• 实际解释：这意味着，即使双方在日常生活中不再往来，或者通过某种形式声明断绝关系，但在法律上，父母与子女之间的抚养、赡养等义务仍然有效。

二. 收养关系的解除

• 特殊情况：如果子女是被他人收养的，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百一十一条的规定，收养关系的成立会消除子女与生父母之间的权利义务关系。在这种情况下，如果收养关系需要解除，应到被收养人常住户口所在地的收养登记机关办理解除收养关系登记。
• 不适用于自然血亲：但这一规定仅适用于收养关系，对于自然血亲的子女关系并不适用。

三. 法律义务与责任

• 父母与子女的义务：根据《中华人民共和国民法典》、《中华人民共和国宪法》以及《中华人民共和国老年人权益保障法》等法律法规，父母对子女有抚养、教育的义务，子女对父母有赡养、扶助的义务。这些义务是法律强制规定的，不能通过断绝关系来免除。
• 法律责任：即使双方声称断绝了关系，但在法律上，如果未履行相应的义务，如父母未履行抚养义务或子女未履行赡养义务，仍然需要承担相应的法律责任。

综上所述，自然血亲的子女关系在法律上是无法断绝的，也不存在办理断绝子女关系的相关机构或程序。如果双方关系紧张或存在矛盾，建议通过沟通、协商或寻求专业帮助等方式来解决问题。如有进一步需要，您可以继续咨询我。