总监和总监代表一般不可以一起在承建单位的开工申请上签字，但存在特殊授权情况时可以。具体分析如下：
一般情况下的职责划分与签字规范
- 在工程建设项目中，总监理工程师（总监）是监理单位派驻项目的全面负责人，对项目的监理工作承担最终责任。总监代表则是总监授权，代表总监行使部分职责的人员，但其权限通常受到总监授权范围的严格限制。
- 开工申请是工程建设中的重要文件，涉及项目的合法启动、资源调配、进度安排等多个关键方面。从职责划分和签字规范的角度来看，开工申请应由总监签字确认，以体现监理单位对项目启动的正式认可和责任承担。总监代表虽然可以参与相关审核工作，但一般不具备独立签署开工申请的权力，更不应与总监一起签字，以免造成职责不清、责任不明的情况。
特殊授权情况下的签字可能性
- 如果总监因特殊原因（如出差、生病等）无法亲自签署开工申请，且已明确授权总监代表代为行使签字权，同时该授权得到了建设单位和承建单位的认可，那么在这种情况下，总监代表可以单独签署开工申请。但即便如此，也不应出现总监和总监代表一起签字的情况，因为这仍然可能引发关于签字效力和责任承担的争议。
- 另一种特殊情况是，如果开工申请涉及多个专业领域或需要多个部门协同审核，总监和总监代表可能分别从不同角度对申请进行审核并签署意见。但即便如此，他们的签字也应分别体现在不同的审核意见栏中，而不是共同签署在开工申请的同一位置。