在菜场摔倒要求赔偿，一般归市场监督管理部门或当地的安全生产监督管理部门（或应急管理部门）管，具体取决于摔倒的原因和责任归属，若涉及侵权纠纷，最终可能需要通过司法途径解决。以下从不同角度为您详细分析：
一、市场监督管理部门
管理职责：市场监督管理部门负责监管市场的经营秩序和安全状况，包括菜场的设施安全、环境卫生等。如果摔倒是由于菜场管理不善，如地面湿滑未及时清理、设施损坏未及时修复等原因导致的，那么市场监督管理部门有权对菜场进行监管，并要求其承担相应的责任。
处理流程：您可以先向市场监督管理部门投诉，说明摔倒的具体情况、时间、地点以及受伤情况等。市场监督管理部门会进行调查，并根据调查结果要求菜场管理方承担相应的赔偿责任。
二、安全生产监督管理部门（或应急管理部门）
管理职责：如果摔倒是由于菜场存在安全隐患，如电线裸露、消防设施缺失等导致的，那么这可能涉及到安全生产问题。此时，您可以向当地的安全生产监督管理部门（或应急管理部门）投诉。
处理流程：安全生产监督管理部门（或应急管理部门）会进行调查，并根据调查结果要求菜场管理方进行整改，并可能对其处以罚款等行政处罚。如果摔倒导致了人身伤害，您还可以要求菜场管理方承担相应的民事赔偿责任。
三、司法途径
侵权纠纷：如果摔倒是由于他人的过错行为导致的，如他人故意推搡、碰撞等，那么这可能构成侵权纠纷。此时，您可以直接向法院提起诉讼，要求侵权人承担相应的民事赔偿责任。
处理流程：在提起诉讼前，建议您先收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明摔倒的原因和责任归属。然后，您可以向法院提交起诉状和相关证据，法院会依法进行审理并作出判决。
四、特殊情况说明
如果菜场是租赁场地：若菜场是租赁场地，且摔倒是由于场地本身的问题导致的，如地面不平、设施老化等，那么您可能还需要考虑与场地出租方之间的责任划分问题。此时，可能需要通过协商、调解或诉讼等方式来解决纠纷。
如果涉及保险理赔：如果您购买了相关的意外伤害保险，且摔倒符合保险理赔条件，那么您还可以向保险公司申请理赔。在申请理赔时，建议您先了解保险条款和理赔流程，并按照要求提交相关证据和资料。
建议：在处理此类纠纷时，建议您先保持冷静，及时收集相关证据，并咨询专业律师的意见。律师可以根据您的具体情况，为您提供更详细、更专业的法律建议和帮助。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。