在犯罪嫌疑人被批准羁押这一阶段，律师可以发挥非常关键的作用，主要从以下几个方面来维护犯罪嫌疑人的合法权益：

一、申请取保候审

律师可以为犯罪嫌疑人申请取保候审。取保候审是一种非羁押性的强制措施，它允许犯罪嫌疑人在不被羁押的情况下等待审判。律师会根据犯罪嫌疑人的具体情况，如犯罪性质、情节、社会危害性以及犯罪嫌疑人的个人情况等，来评估是否适合申请取保候审，并准备相应的申请材料和理由，向办案机关提出申请。

二、代理申诉和控告

如果犯罪嫌疑人认为自己的权益受到了侵害，或者对羁押决定有异议，律师可以代理其进行申诉和控告。律师会帮助犯罪嫌疑人分析案件情况，准备申诉或控告材料，并代表其向相关部门或机关提出申诉或控告，以维护犯罪嫌疑人的合法权益。

三、提供法律咨询和辩护准备

律师还会为犯罪嫌疑人提供法律咨询，解释其涉嫌的罪名、可能面临的法律后果以及相关的法律程序等。同时，律师会开始准备辩护工作，包括收集证据、分析案情、制定辩护策略等，为后续的审判阶段做好充分的准备。

四、与办案机关沟通

律师会积极与办案机关（如公安机关、检察院等）进行沟通，了解案件的进展情况，为犯罪嫌疑人争取更有利的处理结果。律师会就案件的事实、证据、法律适用等问题与办案机关进行交流，提出犯罪嫌疑人的无罪、罪轻或者减轻、免除其刑事责任的材料和意见，维护犯罪嫌疑人的合法权益。

五、监督羁押合法性

律师还有权对羁押的合法性进行监督。如果律师发现羁押过程中存在违法行为或者不当之处，如超期羁押、非法取证等，律师会及时向相关部门提出异议，并要求纠正，以确保犯罪嫌疑人的合法权益不受侵害。

概括起来，在犯罪嫌疑人被批准羁押这一阶段，律师可以通过申请取保候审、代理申诉和控告、提供法律咨询和辩护准备、与办案机关沟通以及监督羁押合法性等方式来维护犯罪嫌疑人的合法权益。