卖淫嫖娼行为主要由公安机关负责管辖和处理。以下从多个角度对此进行详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，卖淫、嫖娼的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处五千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。这一法律条款明确规定了卖淫嫖娼行为的违法性和相应的处罚措施，同时也隐含了公安机关作为执法主体的角色。

2. 管辖部门：

   • 公安机关是负责维护社会治安秩序的专门机关，对于卖淫嫖娼等违反治安管理的行为，具有直接的管辖权和处理权。公安机关下属的治安管理部门或派出所等基层单位，通常会负责具体查处卖淫嫖娼案件。

3. 处理流程：

   • 当公安机关发现或接到举报卖淫嫖娼行为时，会依法进行调查取证。这包括询问当事人、证人，收集相关证据等。
   • 如果证据确凿，公安机关会依法对涉案人员进行处罚，如拘留、罚款等。
   • 对于涉嫌犯罪的卖淫嫖娼行为（如组织、强迫、引诱、容留、介绍卖淫等），公安机关还会将案件移送至检察机关审查起诉，由法院进行审判。

4. 其他相关部门的作用：

   • 虽然公安机关是卖淫嫖娼行为的主要管辖部门，但其他相关部门如卫生健康部门、市场监管部门等也可能在特定情况下参与相关管理工作。例如，卫生健康部门可能负责监管性服务场所的卫生条件，市场监管部门可能负责监管相关商业活动的合法性等。然而，这些部门并不直接负责查处卖淫嫖娼行为。

5. 社会共治：

   • 除了公安机关的执法行动外，社会各界也应共同参与打击卖淫嫖娼行为。例如，社区组织可以开展宣传教育活动，提高居民的法律意识和道德观念；媒体可以曝光相关违法行为，形成舆论压力；公众可以积极举报卖淫嫖娼线索，协助公安机关打击违法行为。

总结与建议： 卖淫嫖娼行为是违法的，且主要由公安机关负责管辖和处理。如果你发现或知晓卖淫嫖娼行为，应及时向公安机关举报。同时，我们也应加强法律宣传和教育，提高公众的法律意识和道德观念，共同维护社会的和谐与稳定。如果你有任何关于法律方面的问题或疑虑，可以直接向我咨询。