结论：是否要在起诉离婚期间给出远门的老公发信息关心，这主要取决于你个人的情感需求、离婚诉讼的进展情况以及你们之间的关系状态，没有绝对的“应该”或“不应该”。以下是从不同角度为你进行的分析：

1. 从情感角度考虑：

   • 如果你内心仍然对老公有一定的感情，或者希望在离婚过程中保持一定的友好和尊重，那么发一条关心的信息可能是合适的。这可以体现你的善意和关怀，有助于缓解双方之间的紧张情绪。
   • 然而，如果你已经对这段婚姻感到彻底失望，或者认为发信息关心可能会给对方造成误解或不必要的期待，那么不发信息也是完全可以理解的。

2. 从离婚诉讼角度考虑：

   • 在离婚诉讼期间，双方的行为和态度都可能成为法庭考虑的因素之一。如果你发信息关心老公，且信息内容恰当、无攻击性，这可能有助于展示你作为配偶的善良和宽容，对诉讼结果产生积极影响。
   • 但另一方面，如果你发信息的内容可能引发争议或误解，比如涉及财产分割、子女抚养等敏感话题，那么最好避免在此时发送，以免给诉讼带来不必要的麻烦。

3. 从双方关系状态考虑：

   • 如果你们之间的关系已经非常紧张，甚至存在敌意，那么发信息关心可能会显得虚伪或不合时宜。在这种情况下，保持沉默或通过律师进行沟通可能更为恰当。
   • 如果你们之间仍然保持着一定的联系和沟通，且双方都能以成熟、理性的态度面对离婚，那么发一条关心的信息可能有助于增进彼此的理解和尊重。

建议：

• 在决定是否发信息之前，先冷静思考自己的真实意图和期望达到的效果。
• 考虑信息的内容和语气，确保它们不会引发争议或误解。
• 如果可能的话，与律师沟通你的想法，以获取更专业的建议和指导。

后续行动：

• 无论你选择发信息还是不发信息，都要保持冷静和理性，不要让情绪影响你的决策。
• 密切关注离婚诉讼的进展情况，及时与律师沟通并调整策略。
• 如果需要进一步的法律帮助或咨询，请随时向我提问，我会尽我所能为你提供专业的法律支持。