打架咬断手指可能构成的罪名及法律责任分析如下：
若伤情鉴定为轻微伤：
- 法律性质：不构成刑事犯罪，但触犯《中华人民共和国治安管理处罚法》。
- 处罚措施：根据该法第四十三条，咬人者可能会受到五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款的处罚；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 民事责任：咬人者仍需承担民事赔偿责任，包括医疗费用、误工费用等合理费用。
若伤情鉴定为轻伤及以上：
- 法律性质：构成故意伤害罪。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。若致人重伤，则处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，将面临十年以上有期徒刑、无期徒刑甚至死刑。
- 量刑考虑因素：法院在量刑时会综合考虑犯罪动机、自首、立功、坦白情节以及是否积极赔偿并获得谅解等因素。例如，一时冲动致人轻伤且事后主动投案、积极赔偿并获得谅解的，可能从轻处罚，判处拘役或适用缓刑。
- 民事责任：咬人者同样需承担民事赔偿责任，包括医疗费用、误工费用、残疾赔偿金等合理费用。
特殊情况与考量：
- 和解与赔偿：在某些情况下，双方若能达成和解协议并就损害赔偿达成一致，可能会减轻或免除咬人者的刑事责任，但民事责任仍需承担。
- 情节与态度：咬人者在案件中的具体情节（如是否属于正当防卫、是否主动投案自首、是否有立功表现等）以及其悔过态度，均可能影响最终的判决结果。例如，积极赔偿被害人损失并取得谅解的情节，在量刑时可以从轻或者减轻处罚。
建议与行动指南：
- 及时报案与伤情鉴定：受害者应立即寻求医疗救治并保存所有相关医疗记录，随后向公安机关报案，由专业机构进行伤情鉴定。
- 法律程序配合：法律程序从公安机关立案到最终判决，可能涉及侦查、审查起诉和审理等多个阶段，受害者及咬人者均应积极配合，提供必要证据和信息。
- 民事赔偿协商：双方可就民事赔偿进行协商，以达成和解协议，减轻或免除咬人者的部分责任。
- 专业法律帮助：在整个法律程序中，建议受害者及咬人者均咨询专业律师，以获取针对性的法律建议和帮助，确保自己的合法权益得到妥善维护。
总结：打架咬断手指是否构成犯罪及承担何种法律责任，主要取决于伤情的严重程度以及案件的具体情节。建议双方在处理此类事件时，保持冷静、积极配合法律程序，并尽量收集相关证据，以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。