结论：在景区游客擅自攀爬岩石摔伤的情况下，景区是否承担管理责任需视具体情况而定，主要取决于景区是否尽到了安全保障义务。以下从不同角度进行分析：

1. 景区安全保障义务的法律依据

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。景区作为公共场所的管理者，对游客负有安全保障义务，包括提供安全的游览环境、设置警示标志、采取必要的安全措施等。

2. 景区是否尽到安全保障义务的判断标准

• 警示标志的设置：如果景区在攀爬岩石区域设置了明显的警示标志（如“禁止攀爬”“危险区域”等），并采取了合理的隔离措施（如围栏、警戒线等），则可能被认为已尽到安全保障义务。
• 安全措施的采取：如果景区未设置警示标志或未采取隔离措施，导致游客因不知情或误判而攀爬岩石摔伤，景区可能因未尽到安全保障义务而承担部分或全部责任。
• 游客的过错：如果游客明知攀爬岩石存在危险仍擅自攀爬，且景区已尽到安全保障义务（如设置警示标志、采取隔离措施等），则游客应自行承担主要或全部责任。

3. 景区可能承担的责任比例

• 完全责任：如果景区未尽到任何安全保障义务（如未设置警示标志、未采取隔离措施等），且游客摔伤与景区的管理疏忽存在直接因果关系，景区可能承担全部责任。
• 部分责任：如果景区已尽到部分安全保障义务（如设置了警示标志但未采取隔离措施），但游客仍因疏忽或故意攀爬岩石摔伤，景区可能承担部分责任，具体比例需根据双方过错程度由法院裁定。
• 无责任：如果景区已尽到充分的安全保障义务（如设置了警示标志、采取了隔离措施等），且游客摔伤完全因其自身过错导致，景区可能不承担责任。

4. 实际案例参考

在司法实践中，法院通常会综合考虑以下因素：

• 景区是否设置了警示标志或采取了隔离措施；
• 游客是否明知攀爬岩石存在危险仍擅自攀爬；
• 景区是否对游客进行了必要的安全提示或劝阻；
• 游客摔伤的具体原因（如岩石松动、地面湿滑等）是否与景区管理有关。

5. 建议

• 对景区：建议景区加强安全管理，在危险区域设置明显的警示标志，并采取必要的隔离措施（如围栏、警戒线等）。同时，加强对游客的安全提示和劝阻，避免类似事故发生。
• 对游客：建议游客在游览景区时遵守景区规定，不擅自攀爬未开放区域或危险区域。如因自身过错导致摔伤，需自行承担相应责任。

总结：景区是否承担管理责任需根据具体情况判断，主要取决于景区是否尽到了安全保障义务。如果景区未尽到义务，可能承担部分或全部责任；如果景区已尽到义务，且游客摔伤完全因其自身过错导致，景区可能不承担责任。如有进一步疑问，可直接向我咨询。