结论：母亲再婚的情况下，继父并不一定是第一继承人，这主要取决于继父与母亲之间是否形成了扶养关系，以及母亲是否留有遗嘱等具体情况。

详细分析：

1. 法定继承顺序：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在法定继承中，若母亲去世且未留下遗嘱，其遗产将首先由第一顺序继承人继承。

2. 继父作为配偶的继承权：

   • 如果母亲与继父已经登记结婚，那么继父作为母亲的配偶，在母亲去世时，属于第一顺序继承人，有权继承母亲的遗产。但这里的关键是继父与母亲之间的婚姻关系，而非继父与母亲子女之间的扶养关系。不过，若要讨论继父对母亲子女财产的继承权，则需考虑扶养关系。

3. 继父对母亲子女财产的继承权（若涉及）：

   • 对于母亲再婚后的家庭财产纠纷，若涉及到继父对母亲子女财产的继承权，这通常不是直接的法律问题，因为继父并不自动成为母亲子女的第一顺序继承人（除非继父与母亲子女之间形成了扶养关系，且母亲子女先于母亲去世，此时继父可能作为有扶养关系的继父母继承继子女的遗产，但这与母亲再婚时的继承问题不直接相关）。
   • 更常见的情况是，母亲去世后，其遗产由第一顺序继承人（包括配偶继父、母亲子女、母亲的父母等）共同继承。继父作为配偶，有权继承其应得的份额。

4. 扶养关系的影响：

   • 扶养关系是影响继承权的重要因素。如果继父与母亲之间形成了扶养关系（如共同生活、经济支持等），并且这种关系在母亲去世时仍然存在，那么继父作为配偶，将依法享有继承权。
   • 但若母亲与继父之间未形成扶养关系，或者扶养关系已经终止（如离婚），则继父可能不再享有继承权，除非母亲通过遗嘱指定其为继承人。

5. 遗嘱继承：

   • 母亲有权通过遗嘱指定其遗产的继承人。如果母亲在遗嘱中明确指定了继父为继承人，那么继父将按照遗嘱的规定继承母亲的遗产，无论其是否属于第一顺序继承人。

法律建议：

• 在处理母亲再婚后的家庭财产纠纷时，建议首先明确母亲与继父之间的婚姻关系以及是否形成了扶养关系。
• 如果母亲去世且未留下遗嘱，其遗产将按照法定继承顺序进行分配。继父作为配偶，有权继承其应得的份额。
• 如果母亲希望指定继父为继承人，或者希望避免潜在的继承纠纷，建议母亲在生前订立遗嘱，明确遗产的分配方式。
• 在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师，以确保法律程序的合法性和有效性。

可能法律后果：

• 如果未按照法律规定处理继承事宜，可能导致继承纠纷和法律诉讼，增加家庭成员之间的矛盾和冲突。
• 错误的继承处理方式可能损害某些继承人的合法权益，导致不必要的经济损失。

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