在刑事案件中，公安发现犯罪线索并及时采取措施的相关法律条款主要涉及《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定。以下是从不同角度对这些法律条款的详细解释：

1. 立案前的初步调查与紧急措施：

   • 根据《刑事诉讼法》第一百一十条，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查。在审查过程中，如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，应当立案。在立案前，如果公安机关认为有必要，可以采取紧急措施，如查封、扣押、冻结等，以防止证据灭失或犯罪嫌疑人逃匿。这些措施虽然并非正式的侦查措施，但在实践中对于及时固定证据、控制犯罪嫌疑人具有重要意义。

2. 立案后的侦查措施：

   • 一旦立案，公安机关即有权依法采取一系列侦查措施。根据《刑事诉讼法》的相关规定，这些措施包括但不限于：
     • 讯问犯罪嫌疑人：公安机关可以依法讯问犯罪嫌疑人，以获取其供述和辩解。
     • 询问证人：公安机关可以询问证人，以了解案件情况。
     • 勘验、检查：公安机关可以对与犯罪有关的场所、物品、人身、尸体进行勘验或者检查，以发现、收集证据。
     • 搜查：公安机关可以向有关单位或个人收集、调取证据材料，也可以对犯罪嫌疑人以及可能隐藏罪犯或者犯罪证据的人的身体、物品、住处和其他有关的地方进行搜查。
     • 查封、扣押物证、书证：公安机关可以查封、扣押与案件有关的物品、文件，以防止其被转移或销毁。
     • 鉴定：公安机关可以指派、聘请有专门知识的人进行鉴定，以确定案件中的专门性问题。
     • 技术侦查措施：在必要时，公安机关还可以采取技术侦查措施，如监听、监控等，但这些措施需要经过严格的审批程序。

3. 紧急情况下的先行拘留：

   • 根据《刑事诉讼法》第八十二条，公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：
     • 正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；
     • 被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；
     • 在身边或者住处发现有犯罪证据的；
     • 犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；
     • 有毁灭、伪造证据或者串供可能的；
     • 不讲真实姓名、住址，身份不明的；
     • 有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。
   • 先行拘留是公安机关在紧急情况下，为了及时控制犯罪嫌疑人、防止其逃匿或继续犯罪而采取的一种强制措施。

4. 特殊情况下的紧急措施：

   • 在某些特殊情况下，如涉及恐怖活动、危害国家安全等严重犯罪，公安机关还可以根据《刑事诉讼法》的相关规定，采取更为严格的紧急措施，如指定居所监视居住、通缉等。

总结来说，公安在发现犯罪线索后，会根据案件的具体情况和紧急程度，依法采取相应的措施。这些措施旨在及时固定证据、控制犯罪嫌疑人、防止犯罪继续发生或扩大。如果您或您身边的人遇到相关法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。