结论：家庭发生重大变故时，能否申请免除贷款罚息，需视具体情况及贷款合同约定、银行政策而定，并非绝对可以或不可以。以下从多个角度为您详细分析：

1. 贷款合同约定：

   • 罚息条款：首先，需要仔细审查您与银行签订的贷款合同，特别是关于罚息的条款。合同中通常会明确规定在何种情况下会产生罚息，以及罚息的计算方式和标准。
   • 免除条件：同时，也要查看合同中是否有关于在特定情况下（如家庭重大变故）可以免除罚息的条款。如果合同中有此类规定，那么您就有可能根据合同条款申请免除罚息。

2. 银行政策与灵活性：

   • 银行政策：不同银行对于贷款罚息的免除政策可能有所不同。有些银行可能更加人性化，愿意在客户遭遇家庭重大变故时给予一定的宽限或减免。
   • 沟通协商：即使合同中没有明确规定免除罚息的条件，您也可以尝试与银行进行沟通协商。向银行说明您的实际情况，提供相关证明材料（如医疗证明、死亡证明等），看银行是否愿意给予一定的减免或调整还款计划。

3. 法律途径：

   • 不可抗力或情势变更：如果家庭重大变故属于不可抗力或情势变更的范畴，且该变故直接导致了您无法按时还款，那么您可以考虑通过法律途径来寻求帮助。不过，这通常需要证明该变故与无法还款之间存在直接的因果关系，且该变故是您无法预见、无法避免和无法克服的。
   • 诉讼或仲裁：在极端情况下，如果您与银行无法就罚息免除达成一致，您还可以考虑通过诉讼或仲裁等法律手段来解决争议。但请注意，这通常是一个复杂且耗时的过程，且结果并不总是如您所愿。

4. 实际操作建议：

   • 及时沟通：一旦遭遇家庭重大变故，建议您尽快与银行取得联系，说明情况并寻求帮助。
   • 准备材料：根据银行的要求，准备相关的证明材料，如医疗证明、死亡证明、收入证明等，以证明您的实际情况和还款能力。
   • 寻求专业帮助：如果您在处理过程中遇到困难或不确定如何操作，可以考虑寻求专业律师或金融顾问的帮助。

后续行动建议：

• 首先，仔细审查您的贷款合同，了解罚息条款和免除条件。
• 其次，与银行进行沟通协商，说明您的实际情况并寻求减免或调整还款计划。
• 如果沟通无果，且您认为符合法律途径的条件，可以考虑通过法律手段来解决争议。

法律背景：

• 根据《中华人民共和国合同法》的相关规定，合同双方应当遵循公平原则确定各方的权利和义务。在遭遇不可抗力或情势变更等特殊情况时，合同双方可以协商变更或解除合同。
• 同时，银行作为金融机构，在制定贷款政策和罚息条款时，也应当遵循公平、合理和人性化的原则。

如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。