物业在小区公共活动空地建篮球场是否合法，需分情况讨论，具体如下：

1. 若物业已获得合法授权：

   • 法律依据：根据《民法典》第二百七十八条，改变共有部分的用途或者利用共有部分从事经营活动，应当由专有部分面积占比三分之二以上的业主且人数占比三分之二以上的业主参与表决，并经参与表决专有部分面积过半数的业主且参与表决人数过半数的业主同意。
   • 合法情形：如果物业在建设篮球场前，已经按照上述法律规定，取得了业主大会或业主委员会的同意，并且该建设行为符合小区的管理规约或相关规划要求，那么物业在小区公共活动空地建篮球场是合法的。

2. 若物业未获得合法授权：

   • 违法性分析：小区公共活动空地属于全体业主共有，物业无权擅自改变其用途或进行建设。如果物业未经业主大会或业主委员会同意，擅自建设篮球场，那么该行为可能构成对业主共有权的侵害。
   • 法律后果：业主有权要求物业停止侵害、恢复原状，并可能要求物业承担相应的赔偿责任。如果物业的行为严重影响了业主的正常生活或造成了其他损失，业主还可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。

3. 其他考虑因素：

   • 规划许可：即使物业获得了业主的同意，如果建设篮球场需要办理规划许可等行政审批手续，物业也必须依法办理。否则，即使业主同意，该建设行为也可能因违反行政法规而无效。
   • 相邻关系：在建设篮球场时，物业还应考虑对周边业主的影响，如噪音、光线等。如果篮球场的建设对周边业主造成了不合理的影响，周边业主有权要求物业采取措施予以消除或减轻。

建议：

• 如果您作为业主，发现物业在小区公共活动空地擅自建设篮球场，您可以先与物业进行沟通，了解其建设行为是否已获得合法授权，并要求其出示相关证明文件。
• 如果物业无法提供合法授权证明，或者您认为该建设行为违反了相关法律法规或管理规约，您可以向业主大会或业主委员会反映情况，并要求其采取措施予以制止。
• 如果问题无法得到妥善解决，您可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益，如向相关部门投诉、提起民事诉讼等。

在处理此类问题时，请务必保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。