结论：您与对方生活十年未办理结婚登记，在法律上并不构成婚姻关系，因此无法直接起诉离婚。但针对您生病后对方可能应承担的责任或您可主张的权益，需根据具体情况分析，可能涉及同居关系析产、扶养义务履行等法律问题。以下从不同角度为您详细说明：
一、关于“能否起诉离婚”
法律关系认定
根据《民法典》第1049条，婚姻关系的成立需以办理结婚登记为前提。您与对方虽共同生活十年，但未登记结婚，法律上仅视为同居关系，而非婚姻关系。因此，您无法通过离婚诉讼解除婚姻关系，但可就同居期间的财产分割、子女抚养等问题另行主张权利。
特殊情形补充
若您与对方在1994年2月1日民政部《婚姻登记管理条例》公布实施前以夫妻名义共同生活，且符合事实婚姻构成要件（如公开以夫妻名义同居、周围群众认可等），则可能被认定为事实婚姻。但根据您描述的“生活十年”，若未满足上述时间条件，仍不构成事实婚姻。
二、关于“生病后对方是否需承担责任”
同居关系中的扶养义务
法律未强制要求同居双方互相扶养，但若对方自愿承担部分费用（如医疗费、生活费），可视为赠与或道德义务，不具有法律强制性。若对方拒绝支付，您无法通过法律途径强制其履行扶养义务。
共同财产分割与债务承担
经济帮助请求权
若您因生病导致生活困难，且对方有一定经济能力，可尝试与对方协商要求其给予适当经济帮助。但此请求权基于道德层面，法律无强制执行力，若对方拒绝，您无法通过诉讼主张。
三、关于“可主张的其他权益”
同居关系析产诉讼
若您与对方在同居期间有共同财产（如共同购买的房产、车辆），可向法院提起同居关系析产纠纷诉讼，要求分割财产。需提供购房合同、转账记录、共同生活证据等材料。
子女抚养问题
若您与对方育有子女，无论是否登记结婚，双方均对子女有抚养义务。您可就子女抚养权、抚养费问题与对方协商或向法院起诉，法院会根据子女权益和双方具体情况判决。
四、建议与行动方向
收集证据
保留同居期间的财产证明（如购房合同、银行流水）、医疗费用单据、共同生活照片等，为后续可能的诉讼或协商提供依据。
协商优先
尝试与对方沟通，明确财产归属、子女抚养及经济帮助等问题，争取达成书面协议，避免矛盾激化。
法律途径
若协商无果，可针对具体问题（如财产分割、子女抚养）向法院起诉。建议提前咨询律师，制定诉讼策略。
最后提醒：法律问题需结合具体证据和细节判断，以上分析仅供参考。若您有进一步疑问或需具体帮助，可直接向我咨询，我会根据您的实际情况提供更详细的法律建议。