在探讨公司如何开除员工且无需支付赔偿的问题时，我们首先要明确的是，这必须在符合法定情形的前提下进行，并且公司需要严格遵循相关法律法规和程序。以下是一些公司可以开除员工且无需支付赔偿的常见情形及操作要点：

一、试用期内不符合录用条件

1. 明确录用条件：公司应在招聘时明确、具体地制定录用条件，并向员工公示，确保员工了解并同意这些条件。
2. 客观公正考核：在试用期内，公司应对员工进行客观公正的考核，保留考核记录，以证明员工是否符合录用条件。
3. 及时解除合同：若员工不符合录用条件，公司应在试用期届满前作出决定，并书面通知员工，说明解除合同的具体事由。

二、严重违反公司规章制度

1. 规章制度合法有效：公司的规章制度必须合法有效，经过民主程序制定，并向员工公示，确保员工了解并遵守。
2. 明确界定违规行为：规章制度中应明确界定“严重违反”的具体行为，以便员工清楚知道哪些行为是禁止的。
3. 及时调查核实：若公司怀疑员工严重违反规章制度，应及时进行调查核实，收集充分证据。
4. 规范处理程序：按照规章制度规定的程序处理违规行为，包括书面通知员工、听取员工申辩等。

三、严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害

1. 明确界定失职和舞弊行为：规章制度或劳动合同中应明确界定“严重失职”和“营私舞弊”的具体表现。
2. 量化或明确损害标准：量化或明确界定“重大损害”的标准，以便在发生损害时能够准确判断。
3. 调查核实行为：若公司怀疑员工存在严重失职或营私舞弊行为，应及时进行调查核实，收集充分证据。
4. 依法解除合同：在证据充分的情况下，公司可以依法作出解除劳动合同的决定，并书面通知员工。

四、与其他用人单位建立劳动关系且影响本职工作或拒不改正

1. 判断兼职影响：公司应判断员工的兼职行为是否对工作任务造成严重影响，可以通过业绩考核等方式进行证明。
2. 提出改正要求：若兼职行为未达严重程度，但公司认为有必要，可以向员工提出改正要求，并保留相关记录。
3. 解除劳动合同：若员工拒不改正兼职行为，且该行为确实影响了本职工作，公司可以解除劳动合同。

五、因欺诈等致使劳动合同无效

1. 证明欺诈行为：公司需要证明员工在订立合同时存在欺诈、胁迫或乘人之危的行为。
2. 收集相关证据：收集相关证据支持劳动合同无效的主张，如虚假简历、虚假证明等。
3. 及时解除合同：在发现劳动合同无效后，公司应及时作出解除合同的决定，并书面通知员工。

六、被依法追究刑事责任

1. 确认刑事责任事实：公司需要确认员工被依法追究刑事责任的事实，如被判处刑罚等。
2. 收集法律文书：收集相关法律文书作为解除合同的依据，如法院判决书等。
3. 及时作出决定：在确认员工被依法追究刑事责任后，公司应及时作出解除劳动合同的决定，并书面通知员工。

附加注意事项

• 遵循法定程序：公司在开除员工时必须遵循法定程序，如通知工会、听取员工申辩等，否则可能承担法律责任。
• 保留相关证据：公司应保留与开除员工相关的所有证据，以备不时之需。
• 结清工资和福利：即使在不赔偿的情况下，公司也应及时结清员工的工资和福利。

综上所述，公司在开除员工时，必须严格依据法律法规和程序进行操作，确保自身行为的合法性和合规性。同时，公司也应注重证据的收集和程序的遵循，以避免潜在的法律风险。