当公司无故开除员工时，员工确实有权要求公司进行相应的赔偿。以下是对此问题的详细解答：

一、赔偿的法律依据与标准

1. 经济补偿金与赔偿金：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
   • 若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，根据第八十七条，需依照第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。也就是说，每满一年工作年限，公司需支付两个月工资作为赔偿金。

2. 特殊工资情况：

   • 若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

二、赔偿的常见情形

公司没有合法的事实依据和法律依据，随意辞退员工，或未遵循法定的解除程序擅自解除劳动合同，均属于违法解除，员工可以要求赔偿。例如：

• 员工正常履行工作职责，无违纪行为，却被公司以模糊理由如“工作表现不佳”开除。
• 公司未提前通知员工或未经工会等法定程序即解除劳动合同。

三、赔偿金的计算方法及示例

• 计算方法：根据员工在公司的工作年限，每满一年支付两个月工资作为赔偿金（因为是经济补偿标准的二倍）；工作年限六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付一个月工资的赔偿金。
• 计算示例：假设某员工在公司工作了3年8个月，月平均工资为8000元。公司无故将其开除，且该员工不要求继续履行劳动合同。此时，公司应支付的赔偿金为：4个月工资的经济补偿标准（因为3年8个月按4年算）×2 = 8个月工资，即8×8000 = 64000元。

四、无需赔偿的情形与特殊保护群体

1. 无需赔偿的情形：

   • 若员工严重违反公司纪律，如严重违反劳动纪律、职业道德、公司保密规定或廉洁制度等，公司有权依据规章制度合法解除劳动合同，此时员工无权要求赔偿。

2. 特殊保护群体：

   • 对三期女职工（孕期、产期、哺乳期）、医疗期内职工等特殊群体，用人单位不得随意解除劳动合同，否则将面临更高额度的违法赔偿。

五、员工维权途径

1. 与公司协商：首先尝试与公司友好协商，要求公司说明开除理由，并按法定标准支付赔偿金。
2. 申请劳动仲裁：若协商不成，员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，需提供劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等相关证据。
3. 提起诉讼：如对仲裁结果不满意，员工可进一步向人民法院提起诉讼，遵循法律程序并提供充分证据支持自己的诉求。

综上所述，当公司无故开除员工时，员工有权根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规要求公司支付相应的赔偿金。在维权过程中，员工应保留好相关证据，并遵循法律程序进行维权。