结论：消费时是否可以开私人个人发票以及是否合法，需分情况讨论。

1. 个人消费场景
   若消费者以个人名义购买商品或服务（如超市购物、个人就医、日常餐饮等），商家开具抬头为个人姓名的发票完全合法。根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务或从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项时，收款方应向付款方开具发票，且未强制要求必须填写单位名称。因此，个人消费后索要个人发票是消费者的合法权利，商家不得拒绝。

2. 需区分“个人发票”与“虚开发票”
   合法个人发票需满足两个条件：

   • 交易真实性：发票内容需与实际消费一致（如购买手机开具“电子产品”而非“办公用品”）；
     
   • 用途合规性：个人发票仅可用于个人报销（如部分单位允许员工报销个人消费）、保修凭证或税务申报（如个人所得税专项附加扣除），不得用于企业税前扣除或虚构成本。若以个人发票冒充企业发票进行财务造假或偷逃税款，则涉嫌违法。

3. 特殊场景：企业代付或员工垫付
   若消费实际由企业承担（如公司组织团建、客户接待），但商家开具个人发票，可能存在税务风险：

   • 企业需凭合法票据（如抬头为公司的发票）进行税前扣除，个人发票不符合要求；
     
   • 若企业通过个人发票报销套取资金，可能涉及“隐匿收入”或“虚开发票”，面临税务处罚。
     建议：此类场景应要求商家开具公司抬头发票，或通过合规流程处理（如员工垫付后凭公司抬头发票报销）。

温馨提示：若您遇到商家拒绝开具个人发票、强制要求提供单位信息，或怀疑发票真实性（如伪造、变造），可向当地税务机关举报（拨打12366纳税服务热线）。如有其他消费维权或税务合规问题，欢迎随时向我咨询。