结论：跑滴滴的司机租车撞上别人的车，赔偿责任的承担需根据具体情况判断，可能是司机自己赔偿，也可能是公司赔偿，或者双方共同承担赔偿责任。以下从不同角度进行分析：
一、司机与公司之间的法律关系
劳动关系：
- 如果司机与公司之间存在劳动关系，即司机是公司的员工，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条：“用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。”在此情况下，若司机在执行工作任务（即跑滴滴）过程中发生交通事故，造成他人损害，应由公司承担赔偿责任。但公司承担赔偿责任后，如果司机存在故意或重大过失，公司有权向司机追偿。
劳务关系或承揽关系：
- 如果司机与公司之间是劳务关系或承揽关系，即司机并非公司的员工，而是以个人名义为公司提供劳务或承揽业务，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条：“个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方承担侵权责任。接受劳务一方承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的提供劳务一方追偿。提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。”以及承揽合同的相关规定，若司机在提供劳务或承揽业务过程中发生交通事故，造成他人损害，原则上应由司机自己承担赔偿责任。但如果公司对事故的发生存在过错（如车辆存在安全隐患、未对司机进行必要的安全培训等），则公司也可能需要承担相应的赔偿责任。
二、租赁合同关系
- 如果司机与公司之间是租赁合同关系，即司机从公司租赁车辆用于跑滴滴，那么根据《中华人民共和国民法典》第七百四十九条：“承租人占有租赁物期间，租赁物造成第三人人身损害或者财产损失的，出租人不承担责任。”在此情况下，若司机在租赁期间发生交通事故，造成他人损害，原则上应由司机自己承担赔偿责任。但同样，如果公司作为出租人，对车辆的安全性能、保险情况等未尽到必要的审查义务，或者存在其他过错，导致事故发生或损失扩大，公司也可能需要承担相应的赔偿责任。
三、保险情况
- 无论司机与公司之间是何种法律关系，如果车辆购买了交强险和商业险，那么在事故发生后，应首先由保险公司在保险责任限额内进行赔偿。不足部分，再根据上述法律关系由司机或公司承担赔偿责任。
四、实际操作建议
收集证据：
- 司机应尽快收集事故现场的照片、视频、交警出具的事故认定书等证据，以证明事故的发生经过和责任划分。
及时报案：
- 司机应立即向保险公司报案，并按照保险公司的要求提供相关证据和资料，以便保险公司及时进行理赔。
协商或诉讼：
- 司机应与公司就赔偿事宜进行协商，如果协商不成，可以寻求法律途径解决争议。在诉讼过程中，司机应提供充分的证据证明自己的主张，并遵循法院的判决结果。
总结：跑滴滴的司机租车撞上别人的车，赔偿责任的承担需根据司机与公司之间的法律关系、租赁合同关系以及保险情况等因素综合判断。司机应尽快收集证据、及时报案，并与公司协商或通过法律途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。