针对您提出的“私刻公章犯什么罪、如何处罚以及由公安机关哪个部门管辖”的问题，我将为您详细解答如下：
一、私刻公章所犯的罪名
私刻公章行为，在我国法律中主要触犯的是“伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪”。这一罪名明确规定了非法制造公司、企业、事业单位、人民团体公章的行为是违法的，它损害了相关单位的正常管理秩序和公信力。
二、私刻公章的处罚
刑事处罚：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条第二款的规定，伪造公司、企业、事业单位、人民团体的印章的，将处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。
- 量刑时，法院会考虑伪造的数量与性质、使用目的与后果以及认罪态度与悔罪表现等因素。例如，伪造多个公章或伪造重要单位的公章，以及用于诈骗、合同欺诈等违法犯罪活动的，将面临更严厉的刑罚。
治安管理处罚：
- 如果私刻公章的行为情节显著轻微，不构成犯罪，那么将依据《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处罚。
- 根据该法第五十二条的规定，伪造、变造或者买卖国家机关、人民团体、企业、事业单位或者其他组织的公文、证件、证明文件、印章的，将处以十日以上十五日以下拘留，并可以并处一千元以下罚款；情节较轻的，处五日以上十日以下拘留，并可以并处五百元以下罚款。
三、公安机关的管辖部门
私刻公章案件一般由公安机关的治安管理部门或刑事侦查部门负责管辖。具体来说：
- 治安管理部门：如果私刻公章的行为情节较轻，尚未构成犯罪，那么通常由治安管理部门负责调查处理，并依据《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处罚。
- 刑事侦查部门：如果私刻公章的行为情节严重，涉嫌构成犯罪，那么将由刑事侦查部门负责立案侦查，并依法移送检察机关审查起诉。
总结与建议：
私刻公章是一种严重的违法行为，不仅可能触犯刑法，还可能面临治安管理处罚。因此，我建议您严格遵守相关法律法规，不得私自篆刻公章。同时，如果您发现身边有此类行为，应及时向公安机关举报，以维护社会秩序和法律尊严。此外，企业和个人也应加强公章管理，建立健全公章使用制度，防止公章被滥用或盗用。