结论：租房子没签合同，从法律角度而言，是可以付全款的，但这存在一定法律风险，且不同情况下法律后果有所不同。以下从多个角度进行分析：
一、未签订书面租赁合同的法律后果
根据《中华人民共和国民法典》第七百零七条：“租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。”这意味着，如果租赁期限超过六个月且未签订书面合同，租赁关系将被视为不定期租赁。不定期租赁中，双方均有权随时解除合同，但出租人解除合同应当在合理期限之前通知承租人。
二、付全款的法律风险
租金支付与合同关系：
- 即使未签订书面合同，如果双方已经实际履行了租赁关系（如承租人已经入住，出租人接受了租金），则租赁合同关系仍然成立，只是形式上可能存在瑕疵。
- 在这种情况下，承租人支付全款并不违反法律规定，但可能面临出租人随时解除合同的风险，尤其是在租赁期限较长的情况下。
租金支付方式与证据留存：
- 如果承租人选择支付全款，建议通过银行转账等可追溯的方式支付，并保留好转账记录、收据等证据，以证明租金支付的事实。
- 同时，可以要求出租人出具书面收据或确认函，明确租金支付情况、租赁期限等关键信息，以降低法律风险。
三、不同情况下的法律建议
短期租赁（不超过六个月）：
- 如果租赁期限较短，且双方对租赁关系无争议，可以考虑支付全款，但仍建议签订书面合同以明确双方权利义务。
- 即使不签订书面合同，也应确保租金支付方式可追溯，并保留好相关证据。
长期租赁（超过六个月）：
- 对于长期租赁，强烈建议签订书面租赁合同，明确租赁期限、租金支付方式、违约责任等关键条款。
- 如果已经实际履行了租赁关系但未签订书面合同，且承租人希望继续租赁并支付全款，应尽快与出租人协商补签合同或至少达成书面协议，以明确双方权利义务。
出租人拒绝签订书面合同：
- 如果出租人拒绝签订书面合同，承租人应谨慎考虑是否继续租赁。
- 如果决定继续租赁并支付全款，应特别注意保留好租金支付证据、沟通记录等，以备不时之需。
四、可能面临的法律后果
- 如果未签订书面合同且租赁期限较长，出租人可能随时解除合同，导致承租人面临搬离、寻找新住所等不便。
- 如果因租金支付等问题发生纠纷，未签订书面合同可能增加举证难度，影响承租人的权益维护。
综上所述，租房子没签合同是可以付全款的，但存在一定法律风险。为了降低风险并保障自身权益，建议承租人在租赁前尽量与出租人签订书面租赁合同，并明确双方权利义务。如果已经实际履行了租赁关系但未签订书面合同，应尽快补签或达成书面协议，并保留好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。