司机拿走乘客钱包内300元的行为涉嫌违法，乘客可采取以下措施处理：

1. 立即联系出租车公司
   乘客应第一时间通过打车平台、出租车公司客服电话或车内监督卡信息联系司机所属公司，说明情况并要求协助查找司机。出租车公司有义务配合调查，若司机承认拿走财物，公司可协调归还；若司机否认，乘客需进一步取证。

2. 报警处理
   司机私自拿走乘客财物属于侵占行为，若金额达到当地盗窃罪立案标准（通常为1000-3000元，但部分地区可能更低），可能构成盗窃罪；即使未达刑事标准，也违反《治安管理处罚法》第49条，可处5-15日拘留及罚款。乘客应携带乘车凭证（如发票、支付记录、行程截图）到派出所报案，警方可调取车内监控或GPS轨迹协助调查。

3. 收集证据

   • 乘车记录：保留打车订单、支付记录、车牌号、司机姓名等信息。
     
   • 财物证明：提供钱包内物品清单（如300元现金特征、其他证件或卡片）、丢失前最后一次使用钱包的证据（如取款记录、消费记录）。
     
   • 证人或监控：若同行人有目击证据，或出租车内安装监控（需警方协助调取），可作为直接证据。

4. 协商或诉讼

   • 若司机或公司愿意协商，可要求书面归还财物并赔偿损失（如补办证件费用）。
     
   • 若协商无果，乘客可向法院提起民事诉讼，要求司机返还300元及赔偿损失；若证据充分，也可要求警方以治安案件处理司机。

关键提醒：

• 司机无权扣留或处置乘客财物，即使乘客未支付车费，司机也应通过合法途径（如报警、起诉）解决，而非私自拿走财物。
  
• 若钱包内有身份证、银行卡等重要物品，乘客应立即挂失补办，避免损失扩大，相关费用可要求司机赔偿。
  

建议行动顺序：联系出租车公司→报警→收集证据→协商或诉讼。若涉及金额较大或司机态度恶劣，优先报警并委托律师介入。