结论：偷300元被拘留是否会留案底，取决于拘留的性质以及后续是否被追究刑事责任。
分析如下：
拘留性质：
- 行政拘留：如果因为盗窃300元被公安机关处以行政拘留，这属于行政处罚，不会留下刑事案底。但行政拘留的记录会在公安机关内部留存，作为个人违法记录的一部分，不过这种记录通常不会对个人的日常生活产生太大影响，除非在特定情况下（如申请某些特殊职业或出国签证时）可能需要提供无违法犯罪记录证明。
- 刑事拘留：如果盗窃行为被认定为犯罪，且被公安机关刑事拘留，那么这通常意味着案件已经进入了刑事诉讼程序。但刑事拘留本身并不等同于有罪判决，它只是刑事诉讼过程中的一种强制措施。
是否被追究刑事责任：
- 不追究刑事责任：如果盗窃金额较小（如300元），且情节轻微，可能不会被追究刑事责任，而是作为行政案件处理。这种情况下，即使被刑事拘留，最终也可能因为不构成犯罪而不留下刑事案底。
- 追究刑事责任：如果盗窃行为被认定为犯罪，且被法院判决有罪，那么就会留下刑事案底。刑事案底是个人犯罪记录的永久性档案，会对个人的名誉、就业、出国等方面产生较大影响。
具体案例与法律解释：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，盗窃公私财物的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。这是针对行政拘留的规定。
- 根据《中华人民共和国刑法》的规定，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。但“数额较大”的具体标准因地区而异，且通常远高于300元。因此，盗窃300元一般不构成犯罪，除非存在其他严重情节。
建议：
- 如果因为盗窃300元被拘留，首先弄清楚是行政拘留还是刑事拘留。
- 如果是行政拘留，且情节轻微，通常不会留下严重后果，但应引以为戒，遵守法律法规。
- 如果是刑事拘留，且认为自己的行为不构成犯罪，应及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并积极配合调查，争取不构成犯罪或减轻处罚。
后续行动：
- 如果你或你身边的人遇到了类似情况，或者有任何法律疑问，都可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。