结论：警察是否会上门抓人，取决于多种因素，包括盗窃行为的性质、情节严重程度、是否构成犯罪以及公安机关的侦查策略等。以下是对此问题的详细分析：

1. 盗窃行为的性质与情节：

   • 如果盗窃的项链价值不高，且属于初犯、偶犯，情节轻微，可能不构成犯罪，而是属于治安管理处罚的范畴。在这种情况下，公安机关可能会对行为人进行治安处罚，如罚款、拘留等，而不会立即采取刑事强制措施（如抓捕）。
   • 如果盗窃的项链价值较高，或者存在多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃等情节，那么可能构成盗窃罪。在这种情况下，公安机关有权对行为人采取刑事强制措施，包括上门抓捕。

2. 公安机关的侦查策略：

   • 公安机关在接到报案后，会进行初步调查，收集证据，评估案件的性质和情节。如果认为有必要采取刑事强制措施，公安机关会依法进行。
   • 在某些情况下，公安机关可能会先尝试通过其他方式（如传唤、询问等）了解情况，而不是直接上门抓捕。这取决于案件的具体情况和公安机关的侦查策略。

3. 法律程序与权利保障：

   • 如果公安机关决定对行为人采取刑事强制措施，必须依法进行，并保障行为人的合法权益。例如，公安机关在抓捕时必须出示相关证件和法律文书，告知行为人其权利和义务等。
   • 行为人也有权委托律师为其提供法律帮助和辩护。在刑事诉讼过程中，律师可以依法为行为人提供法律咨询、代理申诉、控告、申请取保候审等法律服务。

建议：

• 如果你或你认识的人涉嫌盗窃，建议尽快咨询专业律师，了解相关法律程序和权利保障措施。
• 在面对公安机关的调查时，应保持冷静，配合调查，但也要注意保护自己的合法权益。不要随意承认或否认任何事实，等待律师的到来并提供法律帮助。
• 如果确实存在盗窃行为，应主动向公安机关投案自首，争取从轻或减轻处罚的机会。同时，积极赔偿受害人的损失，以表达悔罪态度。

后续行动：

• 如果你需要进一步的法律帮助或咨询，可以直接向我提问。我会根据你的具体情况，为你提供更详细、更专业的法律建议。