代课老师是否可以和学校签订就业协议，这个问题需要分情况来讨论，并且主要涉及到的是劳动关系的认定以及编外用工的管理规定。
首先，从劳动关系的角度来看，如果代课老师与学校之间形成了事实上的劳动关系，即代课老师按月领取劳动报酬，接受学校的管理，其提供的劳动是学校业务的组成部分，那么即使双方没有签订书面的劳动合同，也可以认定双方存在劳动关系。在这种情况下，代课老师与学校之间实际上已经存在了一种雇佣关系，虽然这种关系可能并没有通过正式的就业协议来明确，但法律上仍然会予以保护。不过，具体是否能够签订就业协议，还需要看学校的具体规定和当地的政策要求。
其次，从编外用工的管理规定来看，很多地区的教育局或学校对于编外用工（包括代课老师）都有明确的管理规定。例如，有些地方规定学校与其聘用的编外人员为与个人签订聘用合同的，签订劳动合同的期限为1年以内，且原则上不允许聘请一年以上临时代课教师。同时，编外聘用人员岗位原则上仅限于临时性、辅助性或替代性的工作岗位。这些规定都限制了代课老师与学校签订长期就业协议的可能性。
综合以上分析，我们可以得出以下结论：
如果代课老师与学校之间形成了事实上的劳动关系，并且学校愿意与代课老师签订就业协议，那么双方是可以签订的。但这种情况需要具体看学校的规定和当地的政策要求。
如果代课老师属于编外用工，并且当地的教育局或学校有明确规定限制编外用工的聘用期限和岗位类型，那么代课老师与学校签订长期就业协议的可能性就会受到限制。在这种情况下，代课老师可能只能与学校签订短期的聘用合同或劳务协议。
因此，代课老师是否可以和学校签订就业协议，并没有一个固定的答案。它取决于多种因素，包括代课老师与学校之间的劳动关系状态、学校的具体规定以及当地的政策要求等。如果您是代课老师，并且希望与学校签订就业协议，建议您先了解清楚学校的相关规定和当地的政策要求，然后再与学校进行协商和沟通。