在担保过程中遇到“老赖”，即被执行人拒不履行生效法律文书确定的义务，确实是一个棘手的问题。不过，根据相关法律法规和执行实践，您可以采取以下措施来应对：
一、理解执行担保的基本规定
首先，您需要明确执行担保的基本概念和规定。根据《最高人民法院关于执行担保若干问题的规定》，执行担保是指担保人依照民事诉讼法规定，为担保被执行人履行生效法律文书确定的全部或者部分义务，向人民法院提供的担保。这种担保可以由被执行人提供财产担保，也可以由他人提供财产担保或者保证。
二、确保担保手续的完备性
担保书内容：确保担保书中载明了担保人的基本信息、暂缓执行期限、担保期间、被担保的债权种类及数额、担保范围、担保方式、被执行人于暂缓执行期限届满后仍不履行时担保人自愿接受直接强制执行的承诺等内容。如果提供财产担保，还应载明担保财产的详细信息。
申请执行人同意：被执行人或者他人提供执行担保，需要得到申请执行人的书面同意意见，或者由执行人员将其同意的内容记入笔录，并由申请执行人签名或者盖章。
担保物权公示：如果提供财产担保，可以依照相关法律规定办理登记等担保物权公示手续。已经办理公示手续的，申请执行人可以依法主张优先受偿权。
三、应对“老赖”的具体措施
申请恢复执行：如果暂缓执行期限届满后被执行人仍不履行义务，或者暂缓执行期间担保人有转移、隐藏、变卖、毁损担保财产等行为，您可以向人民法院申请恢复执行，并直接裁定执行担保财产或者保证人的财产。
优先执行现金和银行存款：如果被执行人有便于执行的现金、银行存款，人民法院应当优先执行该现金、银行存款。
担保人追偿权：担保人承担担保责任后，有权在其承担保证责任的范围内向债务人追偿。这意味着，如果担保人代为履行了债务，他有权向被执行人（即“老赖”）追偿。
信用惩戒：对于拒不履行生效法律文书确定义务的被执行人，人民法院可以将其纳入失信被执行人名单，对其进行信用惩戒。这将对被执行人的日常生活和商业活动产生严重影响。
四、实际案例参考
以您提供的案例为例，周某珠作为担保人，在判决生效后因被执行人张某无财产可供执行而面临承担连带清偿责任的情况。经过执行法官的耐心沟通和释法明理，周某珠最终认清了担保责任不可推卸的现实，并主动筹集资金完成首期还款，并与银行达成分期履行协议。这个案例说明，即使面临“老赖”情况，通过合法途径和积极沟通，仍然有可能解决问题。
五、建议与预防
谨慎选择担保对象：在为他人提供担保前，务必充分了解对方的信用状况和偿债能力，谨慎考虑自身的经济实力。
明确担保责任：在签订担保合同时，务必明确担保责任的范围和期限，以及不履行担保责任可能面临的法律后果。
及时采取法律措施：一旦发现被执行人拒不履行义务，应及时向人民法院申请恢复执行，并采取必要的法律措施保护自己的合法权益。
综上所述，面对担保过程中的“老赖”问题，您需要了解并遵守相关法律法规和执行实践的规定，确保担保手续的完备性，及时采取法律措施保护自己的合法权益，并在必要时寻求专业法律帮助。