在燃油车通过网络预约方式揽客的情况下，承运人责任一般由实际提供运输服务的一方，即网络预约出租汽车经营者（或称为网约车平台公司，若其直接参与运营）或实际驾驶车辆并接受乘客预约的驾驶员承担，具体取决于实际的运营模式和合同关系。以下从不同角度进行详细分析：
网约车平台公司作为承运人的情况：
- 如果网约车平台公司不仅提供信息撮合服务，还直接参与运营，如对驾驶员进行管理、培训，对车辆进行维护、检查，并直接与乘客结算费用等，那么在这种情况下，网约车平台公司通常被视为承运人，需要承担承运人责任。
- 法律依据：根据《网络预约出租汽车经营服务管理暂行办法》等相关规定，网约车平台公司作为组织者和运营者，有义务确保运输服务的安全和质量，对乘客的损害承担赔偿责任。
驾驶员作为承运人的情况：
- 如果网约车平台公司仅提供信息撮合服务，不直接参与运营，而是由驾驶员自行接单、提供运输服务，并与乘客直接结算费用，那么在这种情况下，驾驶员通常被视为承运人，需要承担承运人责任。
- 实际情况：然而，在实际操作中，许多网约车平台公司会通过与驾驶员签订合作协议等方式，将部分或全部承运人责任转移给驾驶员。但即便如此，如果平台公司在运营过程中存在过错（如未对驾驶员进行充分审核、未提供必要的安全保障措施等），仍可能需承担相应的补充责任或连带责任。
特殊情况下的责任承担：
- 如果网约车平台公司与驾驶员之间存在明确的雇佣关系或劳动关系，那么根据相关法律规定，雇主或用人单位通常需对雇员或劳动者在从事雇佣活动或履行职务过程中造成的损害承担赔偿责任。
- 另外，如果运输过程中发生交通事故，且事故责任在于第三方（如其他车辆驾驶员），那么乘客的损害应由第三方承担赔偿责任。但在此情况下，如果网约车平台公司或驾驶员已先行垫付了赔偿费用，他们有权向第三方追偿。
建议：
- 对于乘客而言，在选择网约车服务时，应尽量选择正规、有资质的网约车平台公司，并留意查看驾驶员和车辆的相关信息，以确保自身安全。
- 对于网约车平台公司和驾驶员而言，应严格遵守相关法律法规和行业规范，确保运输服务的安全和质量。同时，建议购买相应的保险以分散风险。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。