故意泄露国家秘密罪的最低刑罚是处三年以下有期徒刑或者拘役。这一结论依据的是《中华人民共和国刑法》第三百九十八条的规定。以下是对该罪名的详细解析：

1. 法律依据：

   • 《中华人民共和国刑法》第三百九十八条规定，国家机关工作人员违反保守国家秘密法的规定，故意或者过失泄露国家秘密，情节严重的，处三年以下有期徒刑或者拘役；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑。非国家机关工作人员犯此罪的，也依照上述规定酌情处罚。

2. 构成要件：

   • 违反保密法规：行为人必须违反了《中华人民共和国保守国家秘密法》及相关规定。
   • 泄露国家秘密：国家秘密被不应知悉者知悉，或超出了限定的接触范围。
   • 主观故意：行为人明知是国家秘密而故意泄露。
   • 情节严重：泄露行为必须达到情节严重的程度。

3. 情节严重的判断标准：

   • 包括泄露国家秘密的密级程度、泄露的次数和时间、泄露行为造成的后果、行为人的目的和动机，以及行为人泄露前后的表现等因素。

4. 主体要件：

   • 本罪的主体通常为国家机关工作人员，但非国家机关工作人员也可构成此罪。

综上所述，故意泄露国家秘密罪是一项严重的刑事犯罪，其最低刑罚为处三年以下有期徒刑或者拘役。这一刑罚的适用取决于行为人的具体行为情节和后果。如有任何关于此罪的疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。