在公安调解打架斗殴的过程中，公安机关主要行使的是调解权、调查权以及根据情况作出的处理权，这些权利均是基于法律法规的授权。下面我将从这几个方面详细解释：
调解权：
- 公安机关在接到打架斗殴的报警后，如果认为情节轻微，且双方当事人愿意接受调解，那么公安机关有权进行调解。调解的目的是促使双方当事人达成和解，解决纠纷，避免矛盾进一步升级。
- 调解过程中，公安机关会秉持公正、公平的原则，听取双方当事人的陈述和意见，提出合理的调解方案。如果双方达成一致，公安机关会制作调解协议书，由双方当事人签字确认，调解协议书具有法律效力。
调查权：
- 在调解之前或调解过程中，如果公安机关认为有必要，可以对打架斗殴的事件进行调查。这包括询问当事人、证人，查看现场监控录像，收集相关证据等。
- 调查的目的是为了查明事实真相，确定双方当事人的责任大小，为后续的调解或处理提供依据。
处理权：
- 如果调解不成，或者打架斗殴的情节严重，构成违反治安管理行为甚至犯罪的，公安机关将依法进行处理。
- 对于违反治安管理行为的，公安机关可以根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，给予警告、罚款、行政拘留等处罚。
- 对于构成犯罪的，公安机关将依法立案侦查，并将案件移送检察机关审查起诉。
额外建议：
- 在打架斗殴事件中，无论你是受害者还是加害者，都应积极配合公安机关的调解和调查工作。如果作为受害者，你有权要求加害者承担相应的法律责任；如果作为加害者，你应认识到自己的错误，积极赔偿受害者的损失，争取从轻处理。
- 如果对公安机关的调解或处理结果有异议，你可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。
可能涉及的法律后果：
- 如果打架斗殴的情节轻微，且双方达成和解，那么可能不会受到行政处罚或刑事处罚。
- 如果打架斗殴的情节严重，构成违反治安管理行为或犯罪，那么将可能面临警告、罚款、行政拘留甚至刑事处罚等法律后果。
希望以上解释能帮助你更好地理解公安在调解打架斗殴过程中的权利。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。