面对政府部门要求当事人证明其核发证件的真实性时，当事人可以采取以下措施来应对：
理解政府部门的合理需求：
- 政府部门在履行职责过程中，有时需要核实相关证件的真实性，以确保行政行为的合法性和准确性。这是政府部门的正常工作流程，当事人应予以理解。
核实政府部门的身份和要求：
- 当事人有权要求政府部门出示相关的工作证件或证明文件，以确认其身份和要求的合法性。
- 同时，当事人可以询问政府部门要求证明证件真实性的具体原因和依据，以便更好地配合工作。
提供证件的核发信息或辅助证明：
- 当事人可以提供证件的核发机关、核发时间、证件编号等基本信息，以协助政府部门进行核实。
- 如果政府部门需要进一步的辅助证明，如核发机关的证明信、官方网站上的查询结果等，当事人可以积极协助提供。
了解并行使自己的权利：
- 根据《中华人民共和国政府信息公开条例》等相关法律法规，当事人有权获取政府信息，包括与自己证件相关的核发信息。
- 如果政府部门无正当理由拒绝提供或要求当事人提供不必要的证明，当事人可以依法提出异议或申请行政复议、提起行政诉讼等。
寻求法律帮助：
- 如果当事人在与政府部门沟通的过程中遇到困难或问题，可以寻求专业律师的帮助。律师可以协助当事人分析情况、提供法律意见，并代表当事人与政府部门进行沟通或采取法律行动。
具体建议：
- 保持冷静和理性：面对政府部门的要求，当事人应保持冷静和理性，不要情绪化地应对。通过合法、合规的方式解决问题是最有效的途径。
- 积极配合但不过度妥协：当事人应积极配合政府部门的工作，提供必要的协助和信息。但同时，也要保护自己的合法权益，不要过度妥协或提供不必要的证明。
- 及时咨询专业律师：如果当事人对政府部门的要求或处理方式有疑问或不满，可以及时咨询专业律师。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助。
可能遇到的法律后果：
- 如果当事人拒绝提供必要的证明或协助政府部门进行核实，可能会导致政府部门无法完成其行政行为，进而可能引发行政争议或法律责任。
- 如果政府部门无正当理由拒绝提供政府信息或要求当事人提供不必要的证明，当事人可以依法提出异议或申请行政复议、提起行政诉讼等，以维护自己的合法权益。
总之，面对政府部门要求证明证件真实性的情况，当事人应理解政府部门的合理需求，核实其身份和要求，提供必要的协助和信息，并了解并行使自己的权利。如有需要，可以及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。