针对您提出的“非婚生育刚出生的孩子去公安机关上户口，父亲不做亲子鉴定可以吗”这一问题，以下是我的详细解答：

首先，我们需要明确的是，根据公安部《户口居民身份证管理工作规范(试行)》的相关规定，对于非婚生育的子女，在申报出生登记时，确实存在一些特定的要求。

具体来说，如果非婚生育的子女选择随父亲申报出生登记，那么除了需要提供《出生医学证明》、父母一方的居民户口簿以及非婚生育说明等基本材料外，还必须一并提供具有资质的鉴定机构出具的亲子鉴定证明。这一规定是为了确保户籍登记的准确性和公正性，防止因非婚生育而引发的户籍纠纷。

因此，针对您的问题，如果非婚生育的子女要随父亲上户口，而父亲不愿意或无法进行亲子鉴定，那么在这种情况下，是无法直接完成户籍登记的。父亲需要配合完成亲子鉴定，以提供必要的证明材料。

当然，如果非婚生育的子女选择随母亲申报出生登记，那么通常不需要提供亲子鉴定证明，只需提供《出生医学证明》、母亲的居民户口簿以及非婚生育说明等材料即可。

总的来说，非婚生育子女随父亲申报出生登记时，亲子鉴定证明是必需的。希望这一解答能够对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。